Номер 127, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 127, страница 421.

Условие.

127 a) $\sqrt{|2x+1|} = 1-2|x|$;

б) $\sqrt{|1-3x|} = 1-3|x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{|2x+1|} = 1 - 2|x|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $|2x+1|$ всегда неотрицательно. Правая часть уравнения должна быть также неотрицательной, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.

$1 - 2|x| \ge 0$

$1 \ge 2|x|$

$|x| \le \frac{1}{2}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:

$(\sqrt{|2x+1|})^2 = (1 - 2|x|)^2$

$|2x+1| = 1 - 4|x| + 4|x|^2$

Так как $|x|^2 = x^2$, получаем:

$|2x+1| = 1 - 4|x| + 4x^2$

Рассмотрим два случая, раскрывая модули в пределах ОДЗ.

1. Пусть $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.

В этом интервале $2x+1 \ge 0$, поэтому $|2x+1| = 2x+1$. Также $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$2x+1 = 1 - 4(-x) + 4x^2$

$2x+1 = 1 + 4x + 4x^2$

$4x^2 + 2x = 0$

$2x(2x+1) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=-\frac{1}{2}$.

Корень $x_1=0$ не входит в рассматриваемый интервал $[-\frac{1}{2}, 0)$. Корень $x_2=-\frac{1}{2}$ принадлежит этому интервалу и ОДЗ, значит, является решением.

2. Пусть $x \in [0, \frac{1}{2}]$.

В этом интервале $2x+1 > 0$, поэтому $|2x+1| = 2x+1$. Также $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$2x+1 = 1 - 4x + 4x^2$

$4x^2 - 6x = 0$

$2x(2x - 3) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=\frac{3}{2}$.

Корень $x_1=0$ принадлежит рассматриваемому интервалу $[0, \frac{1}{2}]$ и ОДЗ. Корень $x_2=\frac{3}{2}$ не принадлежит ОДЗ ($ \frac{3}{2} > \frac{1}{2} $). Значит, решением является $x=0$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x = -\frac{1}{2}, x = 0$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{|1-3x|} = 1 - 3|x|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $|1-3x|$ всегда неотрицательно. Правая часть уравнения должна быть также неотрицательной.

$1 - 3|x| \ge 0$

$1 \ge 3|x|$

$|x| \le \frac{1}{3}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{|1-3x|})^2 = (1 - 3|x|)^2$

$|1-3x| = 1 - 6|x| + 9|x|^2$

Так как $|x|^2 = x^2$, получаем:

$|1-3x| = 1 - 6|x| + 9x^2$

Рассмотрим два случая, раскрывая модули в пределах ОДЗ.

1. Пусть $x \in [-\frac{1}{3}, 0)$.

В этом интервале $1-3x > 0$, поэтому $|1-3x| = 1-3x$. Также $x < 0$, поэтому $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$1-3x = 1 - 6(-x) + 9x^2$

$1-3x = 1 + 6x + 9x^2$

$9x^2 + 9x = 0$

$9x(x+1) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=-1$.

Ни один из этих корней не принадлежит рассматриваемому интервалу $[-\frac{1}{3}, 0)$. $x_1=0$ не входит в интервал, а $x_2=-1$ не входит в ОДЗ. В этом случае решений нет.

2. Пусть $x \in [0, \frac{1}{3}]$.

В этом интервале $1-3x \ge 0$, поэтому $|1-3x| = 1-3x$. Также $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$1-3x = 1 - 6x + 9x^2$

$9x^2 - 3x = 0$

$3x(3x-1) = 0$

Получаем корни: $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{3}$.

Оба корня, $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{3}$, принадлежат рассматриваемому интервалу $[0, \frac{1}{3}]$ и, следовательно, ОДЗ. Оба являются решениями.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $x = 0, x = \frac{1}{3}$.