Номер 129, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 129, страница 421.

Условие.

$129 |\cos x| - \sqrt{3} \sin\left(\frac{9\pi}{2} + x\right) = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим уравнение $| \cos x | - \sqrt{3} \sin \left(\frac{9\pi}{2} + x\right) = 1$.

Сначала упростим второй член уравнения, используя формулы приведения для $\sin\left(\frac{9\pi}{2} + x\right)$. Аргумент синуса можно представить в виде $\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Так как период функции синус равен $2\pi$, то слагаемое $4\pi$ (два полных оборота) можно отбросить, не изменяя значения функции: $ \sin\left(\frac{9\pi}{2} + x\right) = \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) $.

Далее, по формуле приведения, $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$.

Подставив это в исходное уравнение, получим более простое уравнение: $ | \cos x | - \sqrt{3} \cos x = 1 $.

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. В этом случае, по определению модуля, $| \cos x | = \cos x$. Уравнение принимает вид: $ \cos x - \sqrt{3} \cos x = 1 $. Вынесем $\cos x$ за скобки: $ \cos x (1 - \sqrt{3}) = 1 $. Отсюда $\cos x = \frac{1}{1 - \sqrt{3}}$. Чтобы оценить это значение, избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos x = \frac{1(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $1+\sqrt{3} \approx 2.732$, и $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx -1.366$. Значение косинуса не может быть меньше -1. Следовательно, в этом случае решений нет. Кроме того, полученное значение $\cos x$ отрицательно, что противоречит нашему предположению $\cos x \ge 0$.

Случай 2: $\cos x < 0$. В этом случае, по определению модуля, $| \cos x | = -\cos x$. Уравнение принимает вид: $ -\cos x - \sqrt{3} \cos x = 1 $. Вынесем $\cos x$ за скобки: $ \cos x (-1 - \sqrt{3}) = 1 $. Отсюда $\cos x = \frac{1}{-1 - \sqrt{3}} = -\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos x = -\frac{1(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = -\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$. Проверим, удовлетворяет ли это значение условиям. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $-1 < 1-\sqrt{3} < 0$. Тогда $\frac{-1}{2} < \frac{1 - \sqrt{3}}{2} < 0$. Это значение находится в интервале $[-1, 1]$ и удовлетворяет условию $\cos x < 0$. Таким образом, решение существует.

Общее решение уравнения $\cos x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ находится по формуле: $ x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.