Номер 135, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 135, страница 421.

Условие.

Решите уравнение (135–158):

135 a) $\frac{\sqrt{21 + x} + \sqrt{21 - x}}{\sqrt{21 + x} - \sqrt{21 - x}} = \frac{21}{x};$

б) $2\sqrt[4]{\frac{40x + 1}{x - 1}} - 3\sqrt[4]{\frac{x - 1}{40x + 1}} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Исходное уравнение: $$ \frac{\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x}}{\sqrt{21+x} - \sqrt{21-x}} = \frac{21}{x} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$21 + x \ge 0 \Rightarrow x \ge -21$
$21 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 21$
Получаем $x \in [-21, 21]$.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\sqrt{21+x} - \sqrt{21-x} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{21+x} \ne \sqrt{21-x} \Rightarrow 21+x \ne 21-x \Rightarrow 2x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$.
$x \ne 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-21, 0) \cup (0, 21]$.

Умножим числитель и знаменатель левой части на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x})$: $$ \frac{(\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x})^2}{(\sqrt{21+x} - \sqrt{21-x})(\sqrt{21+x} + \sqrt{21-x})} = \frac{21}{x} $$ Применим формулы квадрата суммы и разности квадратов: $$ \frac{(21+x) + 2\sqrt{(21+x)(21-x)} + (21-x)}{(21+x) - (21-x)} = \frac{21}{x} $$ $$ \frac{42 + 2\sqrt{21^2 - x^2}}{2x} = \frac{21}{x} $$ $$ \frac{2(21 + \sqrt{441 - x^2})}{2x} = \frac{21}{x} $$ $$ \frac{21 + \sqrt{441 - x^2}}{x} = \frac{21}{x} $$ Поскольку $x \ne 0$ согласно ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на $x$: $$ 21 + \sqrt{441 - x^2} = 21 $$ $$ \sqrt{441 - x^2} = 0 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ 441 - x^2 = 0 $$ $$ x^2 = 441 $$ $$ x = \pm\sqrt{441} $$ $$ x = \pm 21 $$ Оба корня, $x = 21$ и $x = -21$, принадлежат ОДЗ. Выполним проверку.
При $x=21$: левая часть $\frac{\sqrt{21+21}+\sqrt{21-21}}{\sqrt{21+21}-\sqrt{21-21}} = \frac{\sqrt{42}+0}{\sqrt{42}-0} = 1$. Правая часть $\frac{21}{21}=1$. Равенство $1=1$ верное.
При $x=-21$: левая часть $\frac{\sqrt{21-21}+\sqrt{21-(-21)}}{\sqrt{21-21}-\sqrt{21-(-21)}} = \frac{0+\sqrt{42}}{0-\sqrt{42}} = -1$. Правая часть $\frac{21}{-21}=-1$. Равенство $-1=-1$ верное.
Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $x = \pm 21$.

б)

Исходное уравнение: $$ 2\sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}} - 3\sqrt[4]{\frac{x-1}{40x+1}} = 5 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:
$\frac{40x+1}{x-1} > 0$.
Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
1) $40x+1 > 0$ и $x-1 > 0 \Rightarrow x > -1/40$ и $x > 1 \Rightarrow x > 1$.
2) $40x+1 < 0$ и $x-1 < 0 \Rightarrow x < -1/40$ и $x < 1 \Rightarrow x < -1/40$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1/40) \cup (1, \infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}}$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{x-1}{40x+1}} = \frac{1}{y}$.
Так как корень четвертой степени из положительного числа является положительным числом, то $y > 0$.
Подставим замену в уравнение: $$ 2y - \frac{3}{y} = 5 $$ Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$): $$ 2y^2 - 3 = 5y $$ $$ 2y^2 - 5y - 3 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $y$:
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$y_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Поскольку $y > 0$, корень $y_1 = -1/2$ является посторонним. Остается $y = 3$.

Выполним обратную замену: $$ \sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}} = 3 $$ Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $$ \frac{40x+1}{x-1} = 3^4 $$ $$ \frac{40x+1}{x-1} = 81 $$ $$ 40x+1 = 81(x-1) $$ $$ 40x+1 = 81x - 81 $$ $$ 81+1 = 81x - 40x $$ $$ 82 = 41x $$ $$ x = \frac{82}{41} $$ $$ x = 2 $$ Проверим, входит ли корень в ОДЗ. $x=2$ принадлежит интервалу $(1, \infty)$, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $x=2$.