Номер 142, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 142, страница 422.

Условие.

142 a) $\log_2 \frac{x+2}{5} + \log_2 \frac{5}{x} = 1;$

б) $\log_2 \frac{x+3}{5} + \log_2 \frac{5}{x+1} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_2 \frac{x+2}{5} + \log_2 \frac{5}{x} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля.

$\begin{cases} \frac{x+2}{5} > 0 \\ \frac{5}{x} > 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 0$.

2. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_2 \left(\frac{x+2}{5} \cdot \frac{5}{x}\right) = 1$

Сокращаем дробь:

$\log_2 \left(\frac{x+2}{x}\right) = 1$

3. По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$.

$\frac{x+2}{x} = 2^1$

$\frac{x+2}{x} = 2$

4. Решим полученное уравнение, умножив обе части на $x$ (это возможно, так как по ОДЗ $x \neq 0$).

$x+2 = 2x$

$2x - x = 2$

$x = 2$

5. Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие $x > 0$ выполняется, так как $2 > 0$.

Ответ: $2$.

б) $\log_2 \frac{x+3}{5} + \log_2 \frac{5}{x+1} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} \frac{x+3}{5} > 0 \\ \frac{5}{x+1} > 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x+3 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -1$.

2. Используем свойство суммы логарифмов.

$\log_2 \left(\frac{x+3}{5} \cdot \frac{5}{x+1}\right) = 1$

Сокращаем дробь:

$\log_2 \left(\frac{x+3}{x+1}\right) = 1$

3. По определению логарифма:

$\frac{x+3}{x+1} = 2^1$

$\frac{x+3}{x+1} = 2$

4. Решим полученное уравнение, умножив обе части на $x+1$ (это возможно, так как по ОДЗ $x+1 \neq 0$).

$x+3 = 2(x+1)$

$x+3 = 2x + 2$

$2x - x = 3 - 2$

$x = 1$

5. Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие $x > -1$ выполняется, так как $1 > -1$.

Ответ: $1$.