Номер 142, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 142, страница 422.
№142 (с. 422)
Условие. №142 (с. 422)
скриншот условия

142 a) $\log_2 \frac{x+2}{5} + \log_2 \frac{5}{x} = 1;$
б) $\log_2 \frac{x+3}{5} + \log_2 \frac{5}{x+1} = 1.$
Решение 1. №142 (с. 422)


Решение 2. №142 (с. 422)


Решение 4. №142 (с. 422)
а) $\log_2 \frac{x+2}{5} + \log_2 \frac{5}{x} = 1$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля.
$\begin{cases} \frac{x+2}{5} > 0 \\ \frac{5}{x} > 0 \end{cases}$
Решая систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 0$.
2. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\log_2 \left(\frac{x+2}{5} \cdot \frac{5}{x}\right) = 1$
Сокращаем дробь:
$\log_2 \left(\frac{x+2}{x}\right) = 1$
3. По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$.
$\frac{x+2}{x} = 2^1$
$\frac{x+2}{x} = 2$
4. Решим полученное уравнение, умножив обе части на $x$ (это возможно, так как по ОДЗ $x \neq 0$).
$x+2 = 2x$
$2x - x = 2$
$x = 2$
5. Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие $x > 0$ выполняется, так как $2 > 0$.
Ответ: $2$.
б) $\log_2 \frac{x+3}{5} + \log_2 \frac{5}{x+1} = 1$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$\begin{cases} \frac{x+3}{5} > 0 \\ \frac{5}{x+1} > 0 \end{cases}$
Решая систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} x+3 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -1$.
2. Используем свойство суммы логарифмов.
$\log_2 \left(\frac{x+3}{5} \cdot \frac{5}{x+1}\right) = 1$
Сокращаем дробь:
$\log_2 \left(\frac{x+3}{x+1}\right) = 1$
3. По определению логарифма:
$\frac{x+3}{x+1} = 2^1$
$\frac{x+3}{x+1} = 2$
4. Решим полученное уравнение, умножив обе части на $x+1$ (это возможно, так как по ОДЗ $x+1 \neq 0$).
$x+3 = 2(x+1)$
$x+3 = 2x + 2$
$2x - x = 3 - 2$
$x = 1$
5. Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие $x > -1$ выполняется, так как $1 > -1$.
Ответ: $1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 142 расположенного на странице 422 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №142 (с. 422), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.