Номер 146, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 146, страница 422.

Условие.

146 a) $8 \sqrt{\frac{1 + \cos 4x}{1 - \cos 4x}} + \sqrt[3]{\operatorname{tg}\left(\frac{9\pi}{2} - 2x\right)} = 0$;

б) $4 \sqrt[4]{\frac{1 - \cos 8x}{1 + \cos 8x}} + \sqrt[7]{\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - 4x\right)} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \sqrt[8]{\frac{1 + \cos 4x}{1 - \cos 4x}} + \sqrt[3]{\operatorname{tg}\left(\frac{9\pi}{2} - 2x\right)} = 0 $

Сначала преобразуем оба слагаемых в уравнении.

1. Рассмотрим первое слагаемое. Используем формулы двойного угла для косинуса: $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$ и $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$. Применим их для $\alpha = 2x$:

$ \frac{1 + \cos 4x}{1 - \cos 4x} = \frac{2\cos^2 2x}{2\sin^2 2x} = \operatorname{ctg}^2 2x $

Тогда первое слагаемое примет вид:

$ \sqrt[8]{\operatorname{ctg}^2 2x} = \sqrt[4]{|\operatorname{ctg} 2x|} $

2. Рассмотрим второе слагаемое. Используем формулу приведения для тангенса: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$.

$ \operatorname{tg}\left(\frac{9\pi}{2} - 2x\right) = \operatorname{tg}\left(4\pi + \frac{\pi}{2} - 2x\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \operatorname{ctg} 2x $

Тогда второе слагаемое равно $ \sqrt[3]{\operatorname{ctg} 2x} $.

3. Запишем преобразованное уравнение:

$ \sqrt[4]{|\operatorname{ctg} 2x|} + \sqrt[3]{\operatorname{ctg} 2x} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из исходного уравнения знаменатель не должен быть равен нулю: $1 - \cos 4x \neq 0 \implies \cos 4x \neq 1 \implies 4x \neq 2\pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Также аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$: $\frac{9\pi}{2} - 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies 4\pi - 2x \neq \pi m \implies 2x \neq \pi(4-m)$. Это условие эквивалентно $x \neq \frac{\pi j}{2}, j \in \mathbb{Z}$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим преобразованное уравнение. Пусть $u = \operatorname{ctg} 2x$. Уравнение примет вид:

$ \sqrt[4]{|u|} + \sqrt[3]{u} = 0 $

Поскольку $ \sqrt[4]{|u|} \ge 0 $, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ \sqrt[3]{u} \le 0 $, что означает $ u \le 0 $.
Если $u \le 0$, то $|u| = -u$. Уравнение становится:

$ \sqrt[4]{-u} + \sqrt[3]{u} = 0 \implies \sqrt[4]{-u} = -\sqrt[3]{u} $

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 0$.
Подставив в уравнение, получаем $ \sqrt[4]{0} + \sqrt[3]{0} = 0 $, что верно. Значит, $u=0$ является решением.
$ \operatorname{ctg} 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $u < 0$.
Возведем обе части уравнения $ \sqrt[4]{-u} = -\sqrt[3]{u} $ в 12-ю степень (наименьшее общее кратное 3 и 4):

$ (\sqrt[4]{-u})^{12} = (-\sqrt[3]{u})^{12} $

$ (-u)^3 = u^4 $

$ -u^3 = u^4 $

$ u^4 + u^3 = 0 $

$ u^3(u+1) = 0 $

Так как мы рассматриваем случай $u < 0$, то $u+1=0 \implies u=-1$.
Проверка: $ \sqrt[4]{|-1|} + \sqrt[3]{-1} = \sqrt[4]{1} - 1 = 1-1 = 0 $. Верно.
$ \operatorname{ctg} 2x = -1 \implies 2x = \frac{3\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$

б) $ \sqrt[4]{\frac{1 - \cos 8x}{1 + \cos 8x}} + \sqrt[7]{\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - 4x\right)} = 0 $

Сначала преобразуем оба слагаемых в уравнении.

1. Рассмотрим первое слагаемое. Используем формулы двойного угла для косинуса: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$. Применим их для $\alpha = 4x$:

$ \frac{1 - \cos 8x}{1 + \cos 8x} = \frac{2\sin^2 4x}{2\cos^2 4x} = \operatorname{tg}^2 4x $

Тогда первое слагаемое примет вид:

$ \sqrt[4]{\operatorname{tg}^2 4x} = \sqrt{|\operatorname{tg} 4x|} $

2. Рассмотрим второе слагаемое. Используем формулу приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$.

$ \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - 4x\right) = \operatorname{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2} - 4x\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = \operatorname{tg} 4x $

Тогда второе слагаемое равно $ \sqrt[7]{\operatorname{tg} 4x} $.

3. Запишем преобразованное уравнение:

$ \sqrt{|\operatorname{tg} 4x|} + \sqrt[7]{\operatorname{tg} 4x} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из исходного уравнения знаменатель не должен быть равен нулю: $1 + \cos 8x \neq 0 \implies \cos 8x \neq -1 \implies 8x \neq \pi + 2\pi k \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
Это условие эквивалентно тому, что $\operatorname{tg} 4x$ определен, то есть $\cos 4x \neq 0$.
Также аргумент котангенса не должен быть равен $\pi m$: $\frac{5\pi}{2} - 4x \neq \pi m \implies 4x \neq \frac{5\pi}{2} - \pi m \implies 4x \neq \frac{\pi(5-2m)}{2}$. Это означает, что $4x$ не может быть нечетным кратным $\frac{\pi}{2}$, что также эквивалентно условию $\cos 4x \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим преобразованное уравнение. Пусть $u = \operatorname{tg} 4x$. Уравнение примет вид:

$ \sqrt{|u|} + \sqrt[7]{u} = 0 $

Поскольку $ \sqrt{|u|} \ge 0 $, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ \sqrt[7]{u} \le 0 $, что означает $ u \le 0 $.
Если $u \le 0$, то $|u| = -u$. Уравнение становится:

$ \sqrt{-u} + \sqrt[7]{u} = 0 \implies \sqrt{-u} = -\sqrt[7]{u} $

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 0$.
Подставив в уравнение, получаем $ \sqrt{0} + \sqrt[7]{0} = 0 $, что верно. Значит, $u=0$ является решением.
$ \operatorname{tg} 4x = 0 \implies 4x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $u < 0$.
Возведем обе части уравнения $ \sqrt{-u} = -\sqrt[7]{u} $ в 14-ю степень (наименьшее общее кратное 2 и 7):

$ (\sqrt{-u})^{14} = (-\sqrt[7]{u})^{14} $

$ (-u)^7 = u^2 $

$ -u^7 = u^2 $

$ u^7 + u^2 = 0 $

$ u^2(u^5+1) = 0 $

Так как мы рассматриваем случай $u < 0$, то $u^5+1=0 \implies u^5=-1 \implies u=-1$.
Проверка: $ \sqrt{|-1|} + \sqrt[7]{-1} = \sqrt{1} - 1 = 1-1 = 0 $. Верно.
$ \operatorname{tg} 4x = -1 \implies 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}, \quad x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}.$