Номер 152, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 152, страница 423.

Условие.

152 $2 \sin 2x \cos (5x^2) - \sin (5x^2 + 2x) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Исходное уравнение:

$2\sin(2x)\cos(5x^2) - \sin(5x^2 + 2x) = 0$

Применим формулу синуса суммы для второго слагаемого, где $\alpha = 5x^2$ и $\beta = 2x$:

$\sin(5x^2 + 2x) = \sin(5x^2)\cos(2x) + \cos(5x^2)\sin(2x)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\sin(2x)\cos(5x^2) - (\sin(5x^2)\cos(2x) + \cos(5x^2)\sin(2x)) = 0$

Раскроем скобки:

$2\sin(2x)\cos(5x^2) - \sin(5x^2)\cos(2x) - \sin(2x)\cos(5x^2) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin(2x)\cos(5x^2) - \cos(2x)\sin(5x^2) = 0$

Полученное выражение является формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Свернем левую часть уравнения по этой формуле, где $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x^2$:

$\sin(2x - 5x^2) = 0$

Уравнение $\sin(y) = 0$ имеет решения вида $y = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно:

$2x - 5x^2 = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 2x + k\pi = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Здесь $a = 5$, $b = -2$, $c = k\pi$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (k\pi) = 4 - 20k\pi$

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.

$4 - 20k\pi \ge 0$

$4 \ge 20k\pi$

$k \le \frac{4}{20\pi}$

$k \le \frac{1}{5\pi}$

Так как $\pi \approx 3.14$, то $5\pi \approx 15.7$, и $\frac{1}{5\pi} \approx 0.064$. Поскольку $k$ — целое число, это условие означает, что $k$ может быть любым целым числом, меньшим или равным нулю: $k \in \{0, -1, -2, \ldots\}$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4 - 20k\pi}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm \sqrt{4(1 - 5k\pi)}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{1 - 5k\pi}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 5k\pi}}{5}$

Таким образом, решениями уравнения являются все $x$, удовлетворяющие данной формуле при любом целом $k \le 0$.

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 5k\pi}}{5}$, где $k$ — любое целое число, такое что $k \le 0$.