Номер 157, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 157, страница 423.

Условие.

157 $4 \arcsin(2^x - 7) - \arccos(5^x - 124) = \frac{6\pi}{x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данного уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$, а затем проанализируем поведение функций в левой и правой частях уравнения.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Уравнение содержит функции арксинус и арккосинус, аргументы которых должны принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Также знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю.

а) Для функции $\arcsin(2^x - 7)$:

$-1 \le 2^x - 7 \le 1$

Прибавив 7 ко всем частям, получаем:

$6 \le 2^x \le 8$

Логарифмируя по основанию 2, находим:

$\log_2 6 \le x \le 3$

б) Для функции $\arccos(5^x - 124)$:

$-1 \le 5^x - 124 \le 1$

Прибавив 124 ко всем частям, получаем:

$123 \le 5^x \le 125$

Логарифмируя по основанию 5, находим:

$\log_5 123 \le x \le 3$

в) Для дроби $\frac{6\pi}{x}$:

$x \ne 0$

Область допустимых значений $x$ является пересечением этих условий. Нам нужно найти пересечение отрезков $[\log_2 6, 3]$ и $[\log_5 123, 3]$.

Оценим значения $\log_2 6$ и $\log_5 123$.

$\log_2 4 < \log_2 6 < \log_2 8 \Rightarrow 2 < \log_2 6 < 3$

$\log_5 25 < \log_5 123 < \log_5 125 \Rightarrow 2 < \log_5 123 < 3$

Поскольку $\log_2 6 \approx 2.585$, а $\log_5 123 \approx 2.99$, то $\log_2 6 < \log_5 123$.

Следовательно, пересечением является отрезок $[\log_5 123, 3]$.

Итак, ОДЗ: $x \in [\log_5 123, 3]$.

2. Поиск решения и доказательство его единственности

Область допустимых значений — это очень узкий промежуток, в который входит только одно целое число: $x=3$. Проверим, является ли оно решением уравнения.

Подставим $x=3$ в исходное уравнение:

Левая часть: $4 \arcsin(2^3 - 7) - \arccos(5^3 - 124) = 4 \arcsin(8 - 7) - \arccos(125 - 124) = 4 \arcsin(1) - \arccos(1)$.

Используя главные значения аркфункций, $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ и $\arccos(1) = 0$, получаем:

$4 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = 2\pi$.

Правая часть: $\frac{6\pi}{x} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.

Так как левая и правая части равны ($2\pi = 2\pi$), $x=3$ является корнем уравнения.

Теперь докажем, что это решение единственное. Рассмотрим функции на ОДЗ $x \in [\log_5 123, 3]$.

Пусть левая часть уравнения — это функция $f(x) = 4 \arcsin(2^x - 7) - \arccos(5^x - 124)$.

Функция $u(x) = 2^x - 7$ возрастает, и функция $\arcsin(u)$ возрастает. Значит, первое слагаемое $4\arcsin(2^x - 7)$ является строго возрастающей функцией.

Функция $v(x) = 5^x - 124$ возрастает, а функция $\arccos(v)$ убывает. Значит, $\arccos(5^x - 124)$ — убывающая функция, а $-\arccos(5^x - 124)$ — возрастающая.

Сумма двух строго возрастающих функций, $f(x)$, также является строго возрастающей функцией на всей ОДЗ.

Пусть правая часть уравнения — это функция $g(x) = \frac{6\pi}{x}$.

На ОДЗ $x > 0$, поэтому функция $g(x)$ является строго убывающей.

Уравнение $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ строго возрастает, а $g(x)$ строго убывает, может иметь не более одного решения. Поскольку мы нашли одно решение $x=3$, оно и является единственным.

Ответ: 3