Страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

148 a) $\sqrt{|x^2 + 14x + 47|} - 1 = |x + 7| - 1;$

б) $\sqrt{|x^2 - 12x + 34|} - 1 = |x - 6| - 1.$

a) Решим уравнение $\sqrt{|x^2 + 14x + 47|} - 1 = |x + 7| - 1$.

Сначала упростим уравнение, прибавив 1 к обеим частям:

$\sqrt{|x^2 + 14x + 47|} = |x + 7|$

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения не накладывает дополнительных ограничений, так как выражение под модулем может быть любым, а результат модуля всегда неотрицателен, как и требуется для подкоренного выражения. Правая часть также неотрицательна.

Преобразуем выражение в левой части, выделив полный квадрат:

$x^2 + 14x + 47 = (x^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + 49) - 49 + 47 = (x + 7)^2 - 2$.

Подставим это обратно в уравнение:

$\sqrt{|(x + 7)^2 - 2|} = |x + 7|$

Сделаем замену переменной для упрощения. Пусть $y = |x + 7|$. Поскольку $y$ — это модуль, $y \ge 0$. Также заметим, что $(x + 7)^2 = |x + 7|^2 = y^2$. Уравнение принимает вид:

$\sqrt{|y^2 - 2|} = y$

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$|y^2 - 2| = y^2$

Раскроем модуль. Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух систем: ($A \ge 0$ и $A=B$) или ($A < 0$ и $-A=B$). В нашем случае это равносильно совокупности двух уравнений, так как правая часть $y^2$ всегда неотрицательна.

1) $y^2 - 2 = y^2 \implies -2 = 0$. Это неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

2) $y^2 - 2 = -y^2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$.

Так как $y \ge 0$, из $y^2=1$ следует, что $y=1$.

Теперь выполним обратную замену:

$|x + 7| = 1$

Это уравнение распадается на два простых:

$x + 7 = 1 \implies x = 1 - 7 \implies x = -6$

$x + 7 = -1 \implies x = -1 - 7 \implies x = -8$

Ответ: $x = -8, x = -6$.

б) Решим уравнение $\sqrt{|x^2 - 12x + 34|} - 1 = |x - 6| - 1$.

Прибавим 1 к обеим частям уравнения, чтобы упростить его:

$\sqrt{|x^2 - 12x + 34|} = |x - 6|$

Выделим полный квадрат в выражении под модулем в левой части:

$x^2 - 12x + 34 = (x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 36) - 36 + 34 = (x - 6)^2 - 2$.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$\sqrt{|(x - 6)^2 - 2|} = |x - 6|$

Это уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте а). Сделаем замену переменной. Пусть $z = |x - 6|$. Учитывая, что $z \ge 0$ и $(x - 6)^2 = |x - 6|^2 = z^2$, получаем:

$\sqrt{|z^2 - 2|} = z$

Это уравнение полностью аналогично уравнению для переменной $y$ из предыдущего пункта. Возводим обе части в квадрат:

$|z^2 - 2| = z^2$

Решение этого уравнения, как было показано ранее, приводит к $z^2 = 1$.

Поскольку $z \ge 0$, мы получаем $z = 1$.

Выполним обратную замену:

$|x - 6| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

$x - 6 = 1 \implies x = 1 + 6 \implies x = 7$

$x - 6 = -1 \implies x = -1 + 6 \implies x = 5$

Ответ: $x = 5, x = 7$.

149 $cos(\pi(x+3\sqrt{x}))\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1.$

Исходное уравнение: $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) \cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1$.

Поскольку область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, произведение двух косинусов может быть равно $-1$ только в двух случаях:

1. $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = 1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1$.
2. $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = -1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = 1$.

Рассмотрим каждый случай отдельно. Область допустимых значений для $x$ определяется наличием квадратного корня, поэтому $x \ge 0$.

Случай 1: $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = 1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = -1$

Из этих условий следует, что аргументы функций должны быть равны:
$\pi(x+3\sqrt{x}) = 2k\pi$, где $k$ — целое число.
$\pi(2x-\sqrt{x}) = (2m+1)\pi$, где $m$ — целое число.

Разделив на $\pi$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases}x+3\sqrt{x} = 2k \\2x-\sqrt{x} = 2m+1\end{cases}$

Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Система принимает вид:

$\begin{cases}t^2+3t = 2k \\2t^2-t = 2m+1\end{cases}$

Выразим $t$ из этих уравнений. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе:
$(2t^2+6t) - (2t^2-t) = 4k - (2m+1)$
$7t = 4k-2m-1$
$t = \frac{4k-2m-1}{7}$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, $t$ должно быть рациональным числом. Пусть $t = p/q$, где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа и $q \ge 1$. Подставим это в первое уравнение системы:
$(p/q)^2 + 3(p/q) = 2k$
$\frac{p^2+3pq}{q^2} = 2k$
$p^2+3pq = 2kq^2$
$p^2 = 2kq^2 - 3pq = q(2kq - 3p)$

Из последнего равенства следует, что $q$ делит $p^2$. Так как $p$ и $q$ взаимно просты, это возможно только если $q=1$. Следовательно, $t$ должно быть целым числом.

Пусть $t=n$, где $n$ — неотрицательное целое число. Проверим условия на четность.
1. $n^2+3n = n(n+3)$ должно быть четным ($2k$). Если $n$ четное, то $n(n+3)$ четное. Если $n$ нечетное, то $n+3$ четное, и произведение $n(n+3)$ также четное. Это условие выполняется для любого целого $n$.
2. $2n^2-n$ должно быть нечетным ($2m+1$). Так как $2n^2$ всегда четное, разность $2n^2-n$ будет нечетной тогда и только тогда, когда $n$ нечетное.

Итак, $t=n$ должно быть нечетным целым числом. Поскольку $t \ge 0$, $n$ должно быть положительным нечетным числом: $n \in \{1, 3, 5, ...\}$.
Тогда решения для $x$ имеют вид $x = t^2 = n^2$.
Таким образом, $x$ может быть квадратом любого положительного нечетного числа. Это можно записать в виде $x = (2j-1)^2$ для $j \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Случай 2: $\cos(\pi(x+3\sqrt{x})) = -1$ и $\cos(\pi(2x-\sqrt{x})) = 1$

В этом случае система уравнений имеет вид:

$\begin{cases}x+3\sqrt{x} = 2k+1 \\2x-\sqrt{x} = 2m\end{cases}$

Аналогично первому случаю, можно показать, что $t=\sqrt{x}$ должно быть целым числом. Пусть $t=n$, где $n$ — неотрицательное целое число.
Рассмотрим первое уравнение: $n^2+3n = n(n+3)$ должно быть нечетным числом.
Однако, как мы показали ранее, произведение $n(n+3)$ всегда четно для любого целого $n$. Четное число не может равняться нечетному, поэтому в этом случае решений нет.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что решения существуют только в первом случае.

Ответ: $x = (2j-1)^2$, где $j$ — любое натуральное число ($j=1, 2, 3, ...$).

150 $ \frac{\log_3(-x)}{\log_9(-5x-4)} = 1 $.

Решение

Для решения уравнения $$ \frac{\log_3(-x)}{\log_9(-5x - 4)} = 1 $$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется следующей системой условий:
1. Аргумент логарифма в числителе должен быть строго положительным: $-x > 0$, что означает $x < 0$.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть строго положительным: $-5x - 4 > 0$, что означает $-5x > 4$, или $x < -4/5$.
3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_9(-5x - 4) \neq 0$. Это условие выполняется, если аргумент логарифма не равен 1, то есть $-5x - 4 \neq 1$. Отсюда $-5x \neq 5$, и $x \neq -1$.

Объединяя все эти условия ($x < 0$, $x < -4/5$ и $x \neq -1$), получаем итоговую ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -4/5)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Для удобства приведем логарифмы к одному основанию. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ и приведем логарифм в знаменателе к основанию 3: $$ \log_9(-5x - 4) = \frac{\log_3(-5x - 4)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(-5x - 4)}{2} $$

Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ \frac{\log_3(-x)}{\frac{\log_3(-5x - 4)}{2}} = 1 $$

Упростим полученное выражение: $$ \frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-5x - 4)} = 1 $$

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на знаменатель: $$ 2\log_3(-x) = \log_3(-5x - 4) $$

Используем свойство логарифма $n \cdot \log_b a = \log_b(a^n)$: $$ \log_3((-x)^2) = \log_3(-5x - 4) $$ $$ \log_3(x^2) = \log_3(-5x - 4) $$

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $$ x^2 = -5x - 4 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 5x + 4 = 0 $$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 4. Следовательно, корнями являются: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

На последнем шаге проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ.
- Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ ($x \neq -1$), так как он обращает знаменатель исходной дроби в ноль. Это посторонний корень.
- Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -4/5$ и $-4 \neq -1$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = -4$.

151 $\left(\frac{5}{7}\right)^{x-2} \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \frac{125}{343}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести все его части к одному основанию. Заметим, что основания степеней $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{7}{5} $ являются взаимно обратными числами, а правая часть уравнения $ \frac{125}{343} $ может быть представлена как степень числа $ \frac{5}{7} $.

Исходное уравнение:

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2} \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \frac{125}{343} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется знаменателем показателя $ \frac{1}{x-1} $. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $ x - 1 \neq 0 $, что означает $ x \neq 1 $.

Преобразуем уравнение, приведя все к основанию $ \frac{5}{7} $.

1. Второй множитель в левой части: $ \left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \left(\left(\frac{5}{7}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{x-1}} = \left(\frac{5}{7}\right)^{-\frac{1}{x-1}} $.

2. Правая часть уравнения: $ \frac{125}{343} = \frac{5^3}{7^3} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $.

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{-\frac{1}{x-1}} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2 + \left(-\frac{1}{x-1}\right)} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $$

$$ \left(\frac{5}{7}\right)^{x-2 - \frac{1}{x-1}} = \left(\frac{5}{7}\right)^3 $$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, можем приравнять их показатели:

$$ x-2 - \frac{1}{x-1} = 3 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$$ x - 2 - 3 - \frac{1}{x-1} = 0 $$

$$ x - 5 - \frac{1}{x-1} = 0 $$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)$:

$$ \frac{(x-5)(x-1) - 1}{x-1} = 0 $$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $ x \neq 1 $ мы уже учли в ОДЗ. Приравниваем числитель к нулю:

$$ (x-5)(x-1) - 1 = 0 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ x^2 - x - 5x + 5 - 1 = 0 $$

$$ x^2 - 6x + 4 = 0 $$

Получилось квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы корней через дискриминант $ D = b^2 - 4ac $.

Для нашего уравнения $a=1$, $b=-6$, $c=4$.

$$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 $$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} $$

Разделив числитель на 2, получаем два корня:

$$ x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5} $$

$$ x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5} $$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq 1 $). Следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $3 + \sqrt{5}; 3 - \sqrt{5}$.

152 $2 \sin 2x \cos (5x^2) - \sin (5x^2 + 2x) = 0.$

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Исходное уравнение:

$2\sin(2x)\cos(5x^2) - \sin(5x^2 + 2x) = 0$

Применим формулу синуса суммы для второго слагаемого, где $\alpha = 5x^2$ и $\beta = 2x$:

$\sin(5x^2 + 2x) = \sin(5x^2)\cos(2x) + \cos(5x^2)\sin(2x)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\sin(2x)\cos(5x^2) - (\sin(5x^2)\cos(2x) + \cos(5x^2)\sin(2x)) = 0$

Раскроем скобки:

$2\sin(2x)\cos(5x^2) - \sin(5x^2)\cos(2x) - \sin(2x)\cos(5x^2) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin(2x)\cos(5x^2) - \cos(2x)\sin(5x^2) = 0$

Полученное выражение является формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Свернем левую часть уравнения по этой формуле, где $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x^2$:

$\sin(2x - 5x^2) = 0$

Уравнение $\sin(y) = 0$ имеет решения вида $y = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно:

$2x - 5x^2 = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 2x + k\pi = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Здесь $a = 5$, $b = -2$, $c = k\pi$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (k\pi) = 4 - 20k\pi$

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.

$4 - 20k\pi \ge 0$

$4 \ge 20k\pi$

$k \le \frac{4}{20\pi}$

$k \le \frac{1}{5\pi}$

Так как $\pi \approx 3.14$, то $5\pi \approx 15.7$, и $\frac{1}{5\pi} \approx 0.064$. Поскольку $k$ — целое число, это условие означает, что $k$ может быть любым целым числом, меньшим или равным нулю: $k \in \{0, -1, -2, \ldots\}$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4 - 20k\pi}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm \sqrt{4(1 - 5k\pi)}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{1 - 5k\pi}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 5k\pi}}{5}$

Таким образом, решениями уравнения являются все $x$, удовлетворяющие данной формуле при любом целом $k \le 0$.

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 5k\pi}}{5}$, где $k$ — любое целое число, такое что $k \le 0$.

153 $\sqrt{3} \cos\left(\pi \sqrt{x} \sqrt{\frac{6}{x} - x - 4}\right) + 3 \sin\left(\pi x \sqrt{\frac{6}{x^2} - \frac{4}{x} - 1}\right) = \sqrt{12}.$

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Уравнение содержит квадратные корни и дроби, поэтому должны выполняться следующие условия:

1. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. 2. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

Из первого слагаемого: $x > 0$ (из-за $\sqrt{x}$ и $\frac{6}{x}$) $\frac{6}{x} - x - 4 \ge 0$

Из второго слагаемого: $x \ne 0$ (из-за $\frac{6}{x^2}$ и $\frac{4}{x}$) $\frac{6}{x^2} - \frac{4}{x} - 1 \ge 0$

Так как $x>0$, мы можем умножить неравенства на $x$ и $x^2$ соответственно, не меняя знака неравенства: $6 - x^2 - 4x \ge 0 \implies x^2 + 4x - 6 \le 0$ $6 - 4x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + 4x - 6 \le 0$

Оба условия сводятся к системе: $\begin{cases} x > 0 \\ x^2 + 4x - 6 \le 0 \end{cases}$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 6 = 0$: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$.

Решением неравенства $x^2 + 4x - 6 \le 0$ является промежуток $[-2 - \sqrt{10}, -2 + \sqrt{10}]$. Учитывая условие $x > 0$, получаем ОДЗ: $x \in (0, -2 + \sqrt{10}]$.

Теперь упростим аргументы тригонометрических функций. Для $x>0$: Аргумент косинуса: $\pi\sqrt{x}\sqrt{\frac{6}{x}-x-4} = \pi\sqrt{x\left(\frac{6}{x}-x-4\right)} = \pi\sqrt{6-x^2-4x}$. Аргумент синуса: $\pi x \sqrt{\frac{6}{x^2}-\frac{4}{x}-1} = \pi \sqrt{x^2\left(\frac{6}{x^2}-\frac{4}{x}-1\right)} = \pi\sqrt{6-4x-x^2}$.

Аргументы оказались одинаковыми. Обозначим их через $Y = \pi\sqrt{6-4x-x^2}$. Исходное уравнение принимает вид: $\sqrt{3}\cos(Y) + 3\sin(Y) = \sqrt{12}$

Так как $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, уравнение можно переписать: $\sqrt{3}\cos(Y) + 3\sin(Y) = 2\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$: $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cos(Y) + \frac{3}{2\sqrt{3}}\sin(Y) = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$ $\frac{1}{2}\cos(Y) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(Y) = 1$

Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Уравнение сводится к: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(Y) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(Y) = 1$ $\cos\left(Y - \frac{\pi}{3}\right) = 1$

Решением этого уравнения является: $Y - \frac{\pi}{3} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $Y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Теперь определим возможные значения $Y$, исходя из ОДЗ. Пусть $f(x) = 6-4x-x^2$. На ОДЗ $x \in (0, -2 + \sqrt{10}]$, функция $f(x)$ убывает (ее вершина в точке $x=-2$, которая левее интервала). Значение на правом конце: $f(-2+\sqrt{10}) = 0$. Значение на левом конце (предел): $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 6$. Следовательно, $0 \le f(x) < 6$. Тогда для $Y = \pi\sqrt{f(x)}$ имеем $0 \le Y < \pi\sqrt{6}$.

Найдем целые $k$, удовлетворяющие условию: $0 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k < \pi\sqrt{6}$ $0 \le \frac{1}{3} + 2k < \sqrt{6}$ Так как $2.4 < \sqrt{6} < 2.5$, имеем: $0 \le \frac{1}{3} + 2k < 2.5$

- При $k=0$: $\frac{1}{3}$ удовлетворяет неравенству $0 \le \frac{1}{3} < \sqrt{6}$. Получаем $Y_1 = \frac{\pi}{3}$. - При $k=1$: $\frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \approx 2.33$. Проверим: $(\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9} = 5.\overline{4} < 6$, значит $\frac{7}{3} < \sqrt{6}$. Это значение подходит. Получаем $Y_2 = \frac{7\pi}{3}$. - При $k \ge 2$ или $k < 0$ значения выходят за рамки допустимого интервала.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $Y = \frac{\pi}{3}$ $\pi\sqrt{6-4x-x^2} = \frac{\pi}{3} \implies \sqrt{6-4x-x^2} = \frac{1}{3}$ $6-4x-x^2 = \frac{1}{9} \implies x^2+4x-6 = -\frac{1}{9} \implies 9x^2+36x-53=0$ $x = \frac{-36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-53)}}{2 \cdot 9} = \frac{-36 \pm \sqrt{1296 + 1908}}{18} = \frac{-36 \pm \sqrt{3204}}{18}$ $\sqrt{3204} = \sqrt{36 \cdot 89} = 6\sqrt{89}$ $x = \frac{-36 \pm 6\sqrt{89}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{89}}{3}$ Корень $x = \frac{-6 - \sqrt{89}}{3}$ отрицателен и не входит в ОДЗ. Корень $x = \frac{-6 + \sqrt{89}}{3}$. Так как $\sqrt{81} < \sqrt{89} < \sqrt{100}$, то $9 < \sqrt{89} < 10$, следовательно, $x > 0$. Проверка на вхождение в ОДЗ: $\frac{-6+\sqrt{89}}{3} \le -2+\sqrt{10} \iff \sqrt{89} \le 3\sqrt{10} = \sqrt{90}$. Неравенство верно. Этот корень подходит.

Случай 2: $Y = \frac{7\pi}{3}$ $\pi\sqrt{6-4x-x^2} = \frac{7\pi}{3} \implies \sqrt{6-4x-x^2} = \frac{7}{3}$ $6-4x-x^2 = \frac{49}{9} \implies x^2+4x-6 = -\frac{49}{9} \implies 9x^2+36x-5=0$ $x = \frac{-36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5)}}{18} = \frac{-36 \pm \sqrt{1296 + 180}}{18} = \frac{-36 \pm \sqrt{1476}}{18}$ $\sqrt{1476} = \sqrt{36 \cdot 41} = 6\sqrt{41}$ $x = \frac{-36 \pm 6\sqrt{41}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{41}}{3}$ Корень $x = \frac{-6 - \sqrt{41}}{3}$ отрицателен. Корень $x = \frac{-6 + \sqrt{41}}{3}$. Так как $\sqrt{36} < \sqrt{41} < \sqrt{49}$, то $6 < \sqrt{41} < 7$, следовательно, $x > 0$. Проверка на вхождение в ОДЗ: $\frac{-6+\sqrt{41}}{3} \le -2+\sqrt{10} \iff \sqrt{41} \le 3\sqrt{10} = \sqrt{90}$. Неравенство верно. Этот корень тоже подходит.

Ответ: $\frac{\sqrt{41}-6}{3}; \frac{\sqrt{89}-6}{3}$

154 $4x - 3|x - 1| = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1.$

Решим уравнение $4x - 3|x - 1| = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $ \begin{cases} 5x + 14 \ge 0 \\ 5x - 14 \ge 0 \end{cases} $ Решая систему неравенств, получаем: $ \begin{cases} 5x \ge -14 \\ 5x \ge 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2.8 \\ x \ge 2.8 \end{cases} $ Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge 2.8$.

2. Упрощение уравнения

На найденной ОДЗ ($x \ge 2.8$) выражение под знаком модуля $x - 1$ всегда положительно, так как $x - 1 \ge 2.8 - 1 = 1.8 > 0$. Следовательно, $|x - 1| = x - 1$.

Подставим это в левую часть уравнения: $4x - 3(x - 1) = 4x - 3x + 3 = x + 3$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $x + 3 = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1$.

Перенесем свободный член -1 из правой части в левую: $x + 4 = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14}$.

3. Поиск решения

Заметим, что если подкоренные выражения $5x + 14$ и $5x - 14$ будут являться полными квадратами, то вычисления значительно упростятся. Попробуем найти такое значение $x$, при котором это возможно.

Пусть $5x + 14 = m^2$ и $5x - 14 = k^2$ для некоторых целых неотрицательных $m$ и $k$. Вычтем второе равенство из первого: $(5x + 14) - (5x - 14) = m^2 - k^2$ $28 = m^2 - k^2$ $28 = (m - k)(m + k)$.

Поскольку $x \ge 2.8$, то $5x+14 > 5x-14 \ge 0$, откуда следует, что $m > k \ge 0$. Так как $m$ и $k$ — целые, то множители $(m-k)$ и $(m+k)$ также являются целыми. Их произведение равно 28, поэтому они должны иметь одинаковую четность (оба четные).

Рассмотрим пары натуральных множителей числа 28: (1, 28), (2, 14), (4, 7). Единственная пара, состоящая из двух четных чисел, — это (2, 14).

Составим систему уравнений: $ \begin{cases} m - k = 2 \\ m + k = 14 \end{cases} $ Складывая уравнения системы, получаем $2m = 16$, откуда $m = 8$. Подставляя $m=8$ в любое из уравнений, находим $k=6$.

Теперь найдем $x$ из условия $5x + 14 = m^2$: $5x + 14 = 8^2 = 64$ $5x = 50$ $x = 10$.

4. Проверка

Найденное значение $x=10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 \ge 2.8$). Подставим $x=10$ в исходное уравнение для проверки.

Левая часть: $4(10) - 3|10 - 1| = 40 - 3|9| = 40 - 3 \cdot 9 = 40 - 27 = 13$.

Правая часть: $4\sqrt{5(10) + 14} - 3\sqrt{5(10) - 14} - 1 = 4\sqrt{64} - 3\sqrt{36} - 1 = 4 \cdot 8 - 3 \cdot 6 - 1 = 32 - 18 - 1 = 13$.

Так как левая и правая части равны ($13 = 13$), то $x = 10$ является корнем уравнения.

5. Единственность решения

Чтобы доказать, что это единственный корень, рассмотрим функцию $f(x) = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - x - 4$ на ОДЗ $x \ge 2.8$. Решения уравнения соответствуют корням $f(x)=0$.

Найдем производную: $f'(x) = 4 \cdot \frac{5}{2\sqrt{5x+14}} - 3 \cdot \frac{5}{2\sqrt{5x-14}} - 1 = \frac{10}{\sqrt{5x+14}} - \frac{7.5}{\sqrt{5x-14}} - 1$.

Можно показать, что $f'(x) < 0$ для всех $x \ge 2.8$. Максимум этой производной отрицателен (он равен примерно $-0.86$). Поскольку производная всегда отрицательна, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей области определения.

Строго убывающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Так как мы нашли решение $x=10$, оно является единственным.

Ответ: 10.

155 $ \arcsin \frac{6x - 7}{2x - 3} = 2\pi - \pi x. $

Для решения данного уравнения необходимо в первую очередь найти область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. ОДЗ определяется двумя условиями, связанными со свойствами функции арксинус.

1. Ограничение на область значений функции арксинус.

Область значений функции $y = \arcsin(z)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, правая часть уравнения должна принадлежать этому отрезку:

$-\frac{\pi}{2} \le 2\pi - \pi x \le \frac{\pi}{2}$

Решим это двойное неравенство. Сначала вычтем $2\pi$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{2} - 2\pi \le -\pi x \le \frac{\pi}{2} - 2\pi$

$-\frac{5\pi}{2} \le -\pi x \le -\frac{3\pi}{2}$

Теперь разделим все части на $-\pi$. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{5}{2} \ge x \ge \frac{3}{2}$

Таким образом, первое условие для $x$ — это принадлежность отрезку $[\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$.

2. Ограничение на область определения функции арксинус.

Область определения функции $y = \arcsin(z)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, аргумент арксинуса в нашем уравнении должен принадлежать этому отрезку:

$-1 \le \frac{6x - 7}{2x - 3} \le 1$

Также необходимо учесть, что знаменатель дроби не может быть равен нулю: $2x - 3 \ne 0$, что означает $x \ne \frac{3}{2}$.

Двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{6x - 7}{2x - 3} \le 1 \\ \frac{6x - 7}{2x - 3} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{6x - 7}{2x - 3} - 1 \le 0$

$\frac{6x - 7 - (2x - 3)}{2x - 3} \le 0$

$\frac{4x - 4}{2x - 3} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$. Нуль знаменателя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

На числовой оси отмечаем точки 1 (включительно) и 1.5 (исключительно) и определяем знаки выражения на интервалах. Получаем, что неравенство выполняется при $x \in [1, 1.5)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{6x - 7}{2x - 3} + 1 \ge 0$

$\frac{6x - 7 + 2x - 3}{2x - 3} \ge 0$

$\frac{8x - 10}{2x - 3} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $8x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$. Нуль знаменателя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$.

На числовой оси отмечаем точки 1.25 (включительно) и 1.5 (исключительно). Получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1.25] \cup (1.5, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы неравенств: $x \in [1, 1.5)$ и $x \in (-\infty, 1.25] \cup (1.5, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[1, 1.25]$.

3. Итоговая область допустимых значений (ОДЗ).

Для того чтобы уравнение имело решение, переменная $x$ должна удовлетворять обоим условиям, найденным в пунктах 1 и 2. Найдем пересечение полученных множеств:

$x \in [\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ и $x \in [1, 1.25]$.

В числовом виде: $x \in [1.5, 2.5]$ и $x \in [1, 1.25]$.

Пересечение этих двух множеств является пустым множеством: $[1.5, 2.5] \cap [1, 1.25] = \emptyset$.

Поскольку не существует таких значений $x$, при которых левая и правая части уравнения были бы одновременно определены, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

Перепишем исходное уравнение в виде:

$x^2 + 1 = \cos(2x^2)$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции и оценим их области значений.

1. Левая часть уравнения: $f(x) = x^2 + 1$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то наименьшее значение левой части равно $0^2 + 1 = 1$. Таким образом, для левой части уравнения справедливо неравенство: $x^2 + 1 \ge 1$.

2. Правая часть уравнения: $g(x) = \cos(2x^2)$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого значения аргумента $2x^2$ значение косинуса не может превышать 1. Таким образом, для правой части уравнения справедливо неравенство: $\cos(2x^2) \le 1$.

Исходное уравнение $x^2 + 1 = \cos(2x^2)$ может иметь решение только в том случае, когда его левая и правая части равны. Исходя из полученных оценок, это возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ \cos(2x^2) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 + 1 = 1$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=0$ второму уравнению системы:

$\cos(2 \cdot 0^2) = \cos(0) = 1$

Второе уравнение также обращается в верное равенство $1 = 1$.

Следовательно, единственным решением системы, а значит и исходного уравнения, является $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

157 $4 \arcsin(2^x - 7) - \arccos(5^x - 124) = \frac{6\pi}{x}$

Для решения данного уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$, а затем проанализируем поведение функций в левой и правой частях уравнения.

Уравнение содержит функции арксинус и арккосинус, аргументы которых должны принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Также знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю.

а) Для функции $\arcsin(2^x - 7)$:

$-1 \le 2^x - 7 \le 1$

Прибавив 7 ко всем частям, получаем:

$6 \le 2^x \le 8$

Логарифмируя по основанию 2, находим:

$\log_2 6 \le x \le 3$

б) Для функции $\arccos(5^x - 124)$:

$-1 \le 5^x - 124 \le 1$

Прибавив 124 ко всем частям, получаем:

$123 \le 5^x \le 125$

Логарифмируя по основанию 5, находим:

$\log_5 123 \le x \le 3$

в) Для дроби $\frac{6\pi}{x}$:

$x \ne 0$

Область допустимых значений $x$ является пересечением этих условий. Нам нужно найти пересечение отрезков $[\log_2 6, 3]$ и $[\log_5 123, 3]$.

Оценим значения $\log_2 6$ и $\log_5 123$.

$\log_2 4 < \log_2 6 < \log_2 8 \Rightarrow 2 < \log_2 6 < 3$

$\log_5 25 < \log_5 123 < \log_5 125 \Rightarrow 2 < \log_5 123 < 3$

Поскольку $\log_2 6 \approx 2.585$, а $\log_5 123 \approx 2.99$, то $\log_2 6 < \log_5 123$.

Следовательно, пересечением является отрезок $[\log_5 123, 3]$.

Итак, ОДЗ: $x \in [\log_5 123, 3]$.

Область допустимых значений — это очень узкий промежуток, в который входит только одно целое число: $x=3$. Проверим, является ли оно решением уравнения.

Подставим $x=3$ в исходное уравнение:

Левая часть: $4 \arcsin(2^3 - 7) - \arccos(5^3 - 124) = 4 \arcsin(8 - 7) - \arccos(125 - 124) = 4 \arcsin(1) - \arccos(1)$.

Используя главные значения аркфункций, $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ и $\arccos(1) = 0$, получаем:

$4 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 = 2\pi$.

Правая часть: $\frac{6\pi}{x} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$.

Так как левая и правая части равны ($2\pi = 2\pi$), $x=3$ является корнем уравнения.

Теперь докажем, что это решение единственное. Рассмотрим функции на ОДЗ $x \in [\log_5 123, 3]$.

Пусть левая часть уравнения — это функция $f(x) = 4 \arcsin(2^x - 7) - \arccos(5^x - 124)$.

Функция $u(x) = 2^x - 7$ возрастает, и функция $\arcsin(u)$ возрастает. Значит, первое слагаемое $4\arcsin(2^x - 7)$ является строго возрастающей функцией.

Функция $v(x) = 5^x - 124$ возрастает, а функция $\arccos(v)$ убывает. Значит, $\arccos(5^x - 124)$ — убывающая функция, а $-\arccos(5^x - 124)$ — возрастающая.

Сумма двух строго возрастающих функций, $f(x)$, также является строго возрастающей функцией на всей ОДЗ.

Пусть правая часть уравнения — это функция $g(x) = \frac{6\pi}{x}$.

На ОДЗ $x > 0$, поэтому функция $g(x)$ является строго убывающей.

Уравнение $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ строго возрастает, а $g(x)$ строго убывает, может иметь не более одного решения. Поскольку мы нашли одно решение $x=3$, оно и является единственным.

Ответ: 3

158 a) $log_{sin x}(3 \sin x - \cos x) = 0;$

б) $\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}} - \sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}} = 1.$

а) $\log_{\sin x}(3\sin x - \cos x) = 0$

Для решения логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x \neq 1 \\ 3\sin x - \cos x > 0 \end{cases} $

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Применим это к нашему уравнению:
$3\sin x - \cos x = (\sin x)^0$
Поскольку по ОДЗ $\sin x > 0$ и $\sin x \neq 1$, то $(\sin x)^0 = 1$.
Получаем тригонометрическое уравнение:
$3\sin x - \cos x = 1$

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.
$\frac{3}{\sqrt{10}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{10}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}}$
Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Это возможно, так как $(\frac{3}{\sqrt{10}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = \frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1$. Уравнение принимает вид:
$\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = \sin \alpha$
$\sin(x - \alpha) = \sin \alpha$

Решения этого уравнения имеют две серии:
1) $x - \alpha = \alpha + 2\pi k \Rightarrow x = 2\alpha + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $x - \alpha = \pi - \alpha + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим найденные решения на соответствие ОДЗ.
Для серии $x = \pi + 2\pi k$:
$\sin x = \sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0$. Это противоречит условию ОДЗ $\sin x > 0$. Следовательно, эта серия решений не подходит.
Для серии $x = 2\alpha + 2\pi k$:
Проверим условия ОДЗ:
$\sin x = \sin(2\alpha + 2\pi k) = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
1. $\sin x = \frac{3}{5} > 0$ — условие выполнено.
2. $\sin x = \frac{3}{5} \neq 1$ — условие выполнено.
3. $3\sin x - \cos x = 1 > 0$ — условие выполнено, так как мы решали именно это уравнение.
Таким образом, решениями являются $x = 2\alpha + 2\pi k$, где $\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.
Так как $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$, то $\alpha = \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $x = 2\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}} - \sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Преобразуем подкоренные выражения:
$\sqrt[3]{\frac{2}{x} + 1} - \sqrt[3]{\frac{2}{x} - 6} = 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{2}{x}$. Уравнение примет вид:
$\sqrt[3]{y+1} - \sqrt[3]{y-6} = 1$

Для решения этого иррационального уравнения введем еще две переменные:
$a = \sqrt[3]{y+1}$ и $b = \sqrt[3]{y-6}$.
Тогда исходное уравнение можно записать как $a - b = 1$.
Возведем $a$ и $b$ в куб: $a^3 = y+1$ и $b^3 = y-6$.
Вычтем из первого выражения второе: $a^3 - b^3 = (y+1) - (y-6) = 7$.
Получили систему уравнений:
$ \begin{cases} a - b = 1 \\ a^3 - b^3 = 7 \end{cases} $

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Подставим известные значения: $7 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, откуда $a^2+ab+b^2 = 7$.
Из первого уравнения системы выразим $a = b+1$ и подставим в полученное выражение:
$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 7$
$(b^2+2b+1) + (b^2+b) + b^2 = 7$
$3b^2+3b+1 = 7$
$3b^2+3b-6 = 0$
$b^2+b-2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $b_1 = 1$, $b_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, а затем $x$.
1) Если $b = 1$:
$1 = \sqrt[3]{y-6} \Rightarrow 1^3 = y-6 \Rightarrow y = 7$.
Возвращаемся к замене $y = \frac{2}{x}$:
$7 = \frac{2}{x} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{7}$.
2) Если $b = -2$:
$-2 = \sqrt[3]{y-6} \Rightarrow (-2)^3 = y-6 \Rightarrow -8 = y-6 \Rightarrow y = -2$.
Возвращаемся к замене $y = \frac{2}{x}$:
$-2 = \frac{2}{x} \Rightarrow x_2 = \frac{2}{-2} = -1$.

Оба найденных корня ($x_1 = 2/7$ и $x_2 = -1$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $\{-1; \frac{2}{7}\}$.

159 Найдите больший корень уравнения:

a) $ (\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x + (\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}})^x = 8; $

б) $ (\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}})^x - (\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}})^x = 2; $

в) $ (2\sqrt{3} - 2)^x + 2^{x+1} = 2(\sqrt{3} + 1)^x; $

г) $ 3^x + (\sqrt[3]{\sqrt{10} - 1})^x = 2(\sqrt[3]{\sqrt{10} + 1})^x . $

a) $(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x + (\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}})^x = 8$

Заметим, что выражения под корнями являются сопряженными. Найдем их произведение:

$(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}}) \cdot (\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}}) = \sqrt[3]{(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15})} = \sqrt[3]{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt[3]{16 - 15} = \sqrt[3]{1} = 1$.

Это означает, что $\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}}}$.

Сделаем замену. Пусть $t = (\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x$. Тогда $(\sqrt[3]{4 + \sqrt{15}})^x = \left(\frac{1}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}}}\right)^x = \frac{1}{t}$.

Исходное уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 8$.

Поскольку $t = (\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x > 0$, можно умножить обе части уравнения на $t$:

$t^2 + 1 = 8t$

$t^2 - 8t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы корней:

$t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$.

Рассмотрим два случая:

1) $t = 4 + \sqrt{15}$. Выполним обратную замену:

$(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x = 4 + \sqrt{15}$

$(4 - \sqrt{15})^{x/3} = 4 + \sqrt{15}$

Так как $4 + \sqrt{15} = \frac{1}{4 - \sqrt{15}} = (4 - \sqrt{15})^{-1}$, получаем:

$(4 - \sqrt{15})^{x/3} = (4 - \sqrt{15})^{-1}$

Приравнивая показатели степеней, находим $x/3 = -1$, откуда $x_1 = -3$.

2) $t = 4 - \sqrt{15}$. Выполним обратную замену:

$(\sqrt[3]{4 - \sqrt{15}})^x = 4 - \sqrt{15}$

$(4 - \sqrt{15})^{x/3} = (4 - \sqrt{15})^{1}$

Приравнивая показатели степеней, находим $x/3 = 1$, откуда $x_2 = 3$.

Корни уравнения: -3 и 3. Наибольший из них равен 3.

Ответ: 3.

б) $(\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}})^x - (\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}})^x = 2$

Основания степеней являются сопряженными. Найдем их произведение:

$(\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}}) = \sqrt[5]{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \sqrt[5]{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt[5]{9 - 8} = \sqrt[5]{1} = 1$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{3 + 2\sqrt{2}}}$.

Заметим также, что $3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1+\sqrt{2})^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(\sqrt[5]{(1+\sqrt{2})^2})^x - (\frac{1}{\sqrt[5]{(1+\sqrt{2})^2}})^x = 2$

$((1+\sqrt{2})^{2/5})^x - ((1+\sqrt{2})^{-2/5})^x = 2$

$(1+\sqrt{2})^{2x/5} - (1+\sqrt{2})^{-2x/5} = 2$

Сделаем замену $y = (1+\sqrt{2})^{2x/5}$. Поскольку основание $1+\sqrt{2} > 0$, то $y>0$.

$y - \frac{1}{y} = 2$

$y^2 - 1 = 2y$

$y^2 - 2y - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Так как $y > 0$, выбираем корень $y = 1 + \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену:

$(1+\sqrt{2})^{2x/5} = 1 + \sqrt{2}$

$(1+\sqrt{2})^{2x/5} = (1+\sqrt{2})^{1}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{2x}{5} = 1 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.

Так как функция $f(x) = a^x - a^{-x}$ (где $a > 1$) является строго возрастающей, уравнение $f(x)=const$ имеет не более одного корня. Следовательно, найденный корень является единственным и, соответственно, наибольшим.

Ответ: 2.5.

в) $(2\sqrt{3} - 2)^x + 2^{x+1} = 2(\sqrt{3} + 1)^x$

Преобразуем уравнение:

$(2(\sqrt{3} - 1))^x + 2 \cdot 2^x = 2(\sqrt{3} + 1)^x$

$2^x (\sqrt{3} - 1)^x + 2 \cdot 2^x = 2(\sqrt{3} + 1)^x$

Разделим обе части уравнения на $2(\sqrt{3} + 1)^x$, что не равно нулю ни при каком $x$.

$\frac{2^x (\sqrt{3} - 1)^x}{2(\sqrt{3} + 1)^x} + \frac{2 \cdot 2^x}{2(\sqrt{3} + 1)^x} = 1$

$\frac{1}{2}\left(\frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}\right)^x + \left(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\right)^x = 1$

Упростим основания степеней:

$\frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = (\sqrt{3}-1)^2$.

$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{1}{2}\left((\sqrt{3}-1)^2\right)^x + (\sqrt{3}-1)^x = 1$

$\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)^{2x} + (\sqrt{3}-1)^x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = (\sqrt{3}-1)^x$. Так как $\sqrt{3}-1 > 0$, то $y > 0$.

$\frac{1}{2}y^2 + y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Поскольку $y>0$, подходит только корень $y = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3}-1$.

Возвращаемся к замене:

$(\sqrt{3}-1)^x = \sqrt{3}-1$

$x = 1$.

Это единственный корень уравнения, значит он и является наибольшим.

Ответ: 1.

г) $3^x + (3\sqrt{\sqrt{10}-1})^x = 2(\sqrt{\sqrt{10}+1})^x$

Преобразуем уравнение, раскрыв скобки:

$3^x + 3^x (\sqrt{\sqrt{10}-1})^x = 2(\sqrt{\sqrt{10}+1})^x$

$3^x + 3^x (\sqrt{10}-1)^{x/2} = 2(\sqrt{10}+1)^{x/2}$

Разделим обе части на $2(\sqrt{10}+1)^{x/2} \neq 0$:

$\frac{3^x}{2(\sqrt{10}+1)^{x/2}} + \frac{3^x (\sqrt{10}-1)^{x/2}}{2(\sqrt{10}+1)^{x/2}} = 1$

Преобразуем каждый член:

Первый член: $\frac{1}{2} \frac{3^x}{(\sqrt{10}+1)^{x/2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{3^2}{\sqrt{10}+1}\right)^{x/2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9(\sqrt{10}-1)}{(\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)}\right)^{x/2} = \frac{1}{2}\left(\frac{9(\sqrt{10}-1)}{9}\right)^{x/2} = \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^{x/2}$.

Второй член: $\frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}\right)^{x/2} = \frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{(\sqrt{10}-1)^2}{10-1}\right)^{x/2} = \frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{(\sqrt{10}-1)^2}{9}\right)^{x/2} = \frac{1}{2} \cdot 3^x \left(\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)^x = \frac{1}{2}\left(3\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)^x = \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^{x/2} + \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)^x = 1$

$(\sqrt{10}-1)^{x/2} + (\sqrt{10}-1)^x = 2$

Сделаем замену $y = (\sqrt{10}-1)^{x/2}$. Так как $\sqrt{10}-1>0$, то $y>0$.

$y + y^2 = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить разложением на множители: $(y+2)(y-1)=0$.

Корни: $y_1 = -2$, $y_2 = 1$.

Учитывая условие $y > 0$, подходит только $y = 1$.

Выполним обратную замену:

$(\sqrt{10}-1)^{x/2} = 1$.

Так как основание степени $\sqrt{10}-1 \neq 1$, равенство возможно только если показатель степени равен нулю:

$x/2 = 0 \implies x = 0$.

Это единственный корень, поэтому он является наибольшим.

Ответ: 0.

Решите неравенство (160–169):

160 $\frac{2x+5}{3} - \frac{6x-1}{4} \ge x+1.$

160 Исходное неравенство: $ \frac{2x+5}{3} - \frac{6x-1}{4} \ge x+1 $

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 3 и 4, которое равно 12. Так как 12 является положительным числом, знак неравенства не изменится. $ 12 \cdot \left( \frac{2x+5}{3} - \frac{6x-1}{4} \right) \ge 12 \cdot (x+1) $

$ \frac{12(2x+5)}{3} - \frac{12(6x-1)}{4} \ge 12(x+1) $

Сократим дроби: $ 4(2x+5) - 3(6x-1) \ge 12(x+1) $

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью, он меняет знаки в скобках. $ 8x + 20 - 18x + 3 \ge 12x + 12 $

Приведем подобные слагаемые в левой части: $ (8x - 18x) + (20 + 3) \ge 12x + 12 $ $ -10x + 23 \ge 12x + 12 $

Соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $12x$ влево, а 23 вправо, изменив их знаки. $ -10x - 12x \ge 12 - 23 $ $ -22x \ge -11 $

Разделим обе части неравенства на -22. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. $ x \le \frac{-11}{-22} $ $ x \le \frac{1}{2} $

Решение можно записать в виде числового промежутка. Ответ: $x \in (-\infty; 0.5]$

161 a) $3x^2 + 2x + 1 \ge 0;$

б) $-x^2 + 2x - 3 > 0.$

а) $3x^2 + 2x + 1 \ge 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола. Нам нужно определить, на каких интервалах эта парабола находится выше или на оси Ox.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 2x + 1 = 0$, чтобы определить точки пересечения параболы с осью Ox. Для этого вычислим дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $a = 3, b = 2, c = 1$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D = -8 < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 3x^2 + 2x + 1$ не пересекает ось Ox.

Теперь определим, где расположена парабола относительно оси Ox. Так как старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола, ветви которой направлены вверх и которая не пересекает ось Ox, целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть все её значения положительны.

Следовательно, выражение $3x^2 + 2x + 1$ всегда больше нуля при любом значении $x$. Это значит, что неравенство $3x^2 + 2x + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число).

б) $-x^2 + 2x - 3 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x - 3$. Графиком является парабола. Нам нужно найти значения $x$, при которых парабола находится строго выше оси Ox.

Найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 2x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $a = -1, b = 2, c = -3$.
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D = -8 < 0$, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось Ox.

Определим расположение параболы. Старший коэффициент $a = -1 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Парабола, ветви которой направлены вниз и которая не пересекает ось Ox, целиком расположена в нижней полуплоскости. Это означает, что все значения функции $y = -x^2 + 2x - 3$ отрицательны.

Неравенство $-x^2 + 2x - 3 > 0$ требует, чтобы выражение было положительным. Но, как мы установили, оно всегда отрицательно при любом $x$. Следовательно, не существует таких значений $x$, которые бы удовлетворяли данному неравенству.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).