Страница 419 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (92—100):

92 а) $3^{9x+10} = 3^{6x-2}$;

б) $7^{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{7}$;

в) $5^{3x+1} = 25^{x-1}$;

г) $4^{2x} = 16^{2x+5}$;

д) $3^{2x} = 27^{x+6}$;

е) $3^{9x+1} = 9^{3x-1}$;

ж) $4^{-x+1} = 8^x$;

з) $64^{x+1} = 8^{4\sqrt{x}}$.

а) $3^{9x+10} = 3^{6x-2}$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения одинаковы (равны 3), мы можем приравнять их показатели:
$9x + 10 = 6x - 2$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$9x - 6x = -2 - 10$
$3x = -12$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-12}{3}$
$x = -4$
Ответ: -4

б) $7^{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{7}$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
Уравнение примет вид:
$7^{x^2 - 3x + 1} = 7^{-1}$
Приравняем показатели степеней:
$x^2 - 3x + 1 = -1$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$
$x_1 = \frac{3+1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{3-1}{2} = 1$
Ответ: 1; 2

в) $5^{3x+1} = 25^{x-1}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию 5. Так как $25 = 5^2$, получаем:
$5^{3x+1} = (5^2)^{x-1}$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{3x+1} = 5^{2(x-1)}$
$5^{3x+1} = 5^{2x-2}$
Теперь приравниваем показатели:
$3x + 1 = 2x - 2$
$3x - 2x = -2 - 1$
$x = -3$
Ответ: -3

г) $4^{2x} = 16^{2x+5}$
Приведем обе части к основанию 4. Так как $16 = 4^2$, получаем:
$4^{2x} = (4^2)^{2x+5}$
$4^{2x} = 4^{2(2x+5)}$
$4^{2x} = 4^{4x+10}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 4x + 10$
$2x - 4x = 10$
$-2x = 10$
$x = \frac{10}{-2}$
$x = -5$
Ответ: -5

д) $3^{2x} = 27^{x+6}$
Приведем обе части к основанию 3. Так как $27 = 3^3$, получаем:
$3^{2x} = (3^3)^{x+6}$
$3^{2x} = 3^{3(x+6)}$
$3^{2x} = 3^{3x+18}$
Приравниваем показатели:
$2x = 3x + 18$
$2x - 3x = 18$
$-x = 18$
$x = -18$
Ответ: -18

е) $3^{9x+1} = 9^{3x-1}$
Приведем обе части к основанию 3. Так как $9 = 3^2$, получаем:
$3^{9x+1} = (3^2)^{3x-1}$
$3^{9x+1} = 3^{2(3x-1)}$
$3^{9x+1} = 3^{6x-2}$
Приравниваем показатели:
$9x + 1 = 6x - 2$
$9x - 6x = -2 - 1$
$3x = -3$
$x = -1$
Ответ: -1

ж) $4^{-x+1} = 8^x$
Приведем обе части к общему основанию 2. Так как $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$, получаем:
$(2^2)^{-x+1} = (2^3)^x$
$2^{2(-x+1)} = 2^{3x}$
$2^{-2x+2} = 2^{3x}$
Приравниваем показатели степеней:
$-2x + 2 = 3x$
$2 = 3x + 2x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

з) $64^{x+1} = 8^{4\sqrt{x}}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Приведем обе части к основанию 8. Так как $64 = 8^2$, получаем:
$(8^2)^{x+1} = 8^{4\sqrt{x}}$
$8^{2(x+1)} = 8^{4\sqrt{x}}$
$8^{2x+2} = 8^{4\sqrt{x}}$
Приравниваем показатели:
$2x + 2 = 4\sqrt{x}$
Разделим обе части на 2:
$x + 1 = 2\sqrt{x}$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x - 2\sqrt{x} + 1 = 0$
Левая часть является формулой квадрата разности: $(\sqrt{x})^2 - 2\cdot\sqrt{x}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x}-1)^2$.
$(\sqrt{x}-1)^2=0$
Отсюда следует:
$\sqrt{x} - 1 = 0$
$\sqrt{x} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x = 1$
Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).
Ответ: 1

93 a) $\frac{4^{3 - 0.2x}}{8} = 0.5 \cdot 2^{0.4 - 3x}$;

б) $0.2 \cdot 5^{0.3x - 4} = \frac{125}{25^{0.2 - x}}$;

в) $4^{x+1} + 4^{x+2} = 40$;

г) $3^{x-1} - 3^{x-2} = 18$;

д) $9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$;

е) $4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{4^{3 - 0,2x}}{8} = 0,5 \cdot 2^{0,4 - 3x} $

Приведем все части уравнения к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$, $8 = 2^3$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$ \frac{(2^2)^{3 - 0,2x}}{2^3} = 2^{-1} \cdot 2^{0,4 - 3x} $

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$ \frac{2^{2 \cdot (3 - 0,2x)}}{2^3} = 2^{-1 + (0,4 - 3x)} $

$ \frac{2^{6 - 0,4x}}{2^3} = 2^{-0,6 - 3x} $

$ 2^{(6 - 0,4x) - 3} = 2^{-0,6 - 3x} $

$ 2^{3 - 0,4x} = 2^{-0,6 - 3x} $

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$ 3 - 0,4x = -0,6 - 3x $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$ 3x - 0,4x = -0,6 - 3 $

$ 2,6x = -3,6 $

$ x = \frac{-3,6}{2,6} = \frac{-36}{26} = -\frac{18}{13} $

Ответ: $x = -\frac{18}{13}$

б)

Исходное уравнение: $ 0,2 \cdot 5^{0,3x - 4} = \frac{125}{25^{0,2 - x}} $

Приведем все части уравнения к основанию 5. Мы знаем, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в уравнение:

$ 5^{-1} \cdot 5^{0,3x - 4} = \frac{5^3}{(5^2)^{0,2 - x}} $

Упростим обе части, используя свойства степеней:

$ 5^{-1 + (0,3x - 4)} = \frac{5^3}{5^{2 \cdot (0,2 - x)}} $

$ 5^{0,3x - 5} = \frac{5^3}{5^{0,4 - 2x}} $

$ 5^{0,3x - 5} = 5^{3 - (0,4 - 2x)} $

$ 5^{0,3x - 5} = 5^{3 - 0,4 + 2x} $

$ 5^{0,3x - 5} = 5^{2,6 + 2x} $

Приравниваем показатели степеней:

$ 0,3x - 5 = 2,6 + 2x $

Решаем линейное уравнение:

$ 0,3x - 2x = 2,6 + 5 $

$ -1,7x = 7,6 $

$ x = \frac{7,6}{-1,7} = \frac{76}{-17} = -\frac{76}{17} $

Ответ: $x = -\frac{76}{17}$

в)

Исходное уравнение: $ 4^{x+1} + 4^{x+2} = 40 $

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$ 4^x \cdot 4^1 + 4^x \cdot 4^2 = 40 $

$ 4 \cdot 4^x + 16 \cdot 4^x = 40 $

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$ 4^x(4 + 16) = 40 $

$ 4^x \cdot 20 = 40 $

Разделим обе части на 20:

$ 4^x = \frac{40}{20} $

$ 4^x = 2 $

Представим 4 как $2^2$:

$ (2^2)^x = 2^1 $

$ 2^{2x} = 2^1 $

Приравниваем показатели степеней:

$ 2x = 1 $

$ x = \frac{1}{2} $

Ответ: $x = 0,5$

г)

Исходное уравнение: $ 3^{x-1} - 3^{x-2} = 18 $

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$ \frac{3^x}{3^1} - \frac{3^x}{3^2} = 18 $

$ \frac{3^x}{3} - \frac{3^x}{9} = 18 $

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$ 3^x \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) = 18 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ 3^x \left(\frac{3}{9} - \frac{1}{9}\right) = 18 $

$ 3^x \cdot \frac{2}{9} = 18 $

Выразим $3^x$:

$ 3^x = 18 \cdot \frac{9}{2} $

$ 3^x = 9 \cdot 9 = 81 $

Представим 81 как степень 3: $81 = 3^4$

$ 3^x = 3^4 $

Отсюда, $x=4$.

Ответ: $x = 4$

д)

Исходное уравнение: $ 9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30 $

Приведем все к основанию 3, зная что $9 = 3^2$:

$ (3^2)^{x+1} + 3^{2x+4} = 30 $

$ 3^{2(x+1)} + 3^{2x+4} = 30 $

$ 3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30 $

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$ 3^{2x} \cdot 3^2 + 3^{2x} \cdot 3^4 = 30 $

$ 9 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 3^{2x} = 30 $

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:

$ 3^{2x}(9 + 81) = 30 $

$ 3^{2x} \cdot 90 = 30 $

$ 3^{2x} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} $

Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:

$ 3^{2x} = 3^{-1} $

Приравниваем показатели:

$ 2x = -1 $

$ x = -\frac{1}{2} $

Ответ: $x = -0,5$

е)

Исходное уравнение: $ 4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60 $

Приведем все к основанию 2, зная что $4 = 2^2$:

$ (2^2)^{x+1} - 2^{2x-2} = 60 $

$ 2^{2(x+1)} - 2^{2x-2} = 60 $

$ 2^{2x+2} - 2^{2x-2} = 60 $

Используем свойства степеней:

$ 2^{2x} \cdot 2^2 - \frac{2^{2x}}{2^2} = 60 $

$ 4 \cdot 2^{2x} - \frac{1}{4} \cdot 2^{2x} = 60 $

Вынесем общий множитель $2^{2x}$ за скобки:

$ 2^{2x}\left(4 - \frac{1}{4}\right) = 60 $

$ 2^{2x}\left(\frac{16}{4} - \frac{1}{4}\right) = 60 $

$ 2^{2x} \cdot \frac{15}{4} = 60 $

Выразим $2^{2x}$:

$ 2^{2x} = 60 \cdot \frac{4}{15} $

$ 2^{2x} = 4 \cdot 4 = 16 $

Представим 16 как степень 2: $16 = 2^4$

$ 2^{2x} = 2^4 $

Приравниваем показатели:

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

Ответ: $x = 2$

94 a) $2^{2x+1} \cdot 3^x = 2 \cdot 12^{4-x}$;

б) $2^{2x-1} \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x}$;

в) $9 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} - 18 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} + 9 = 0$.

а) Исходное уравнение: $2^{2x+1} \cdot 3^x = 2 \cdot 12^{4-x}$.
Для решения преобразуем обе части уравнения, чтобы привести их к одному основанию.
Сначала преобразуем левую часть, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{2x+1} \cdot 3^x = 2^{2x} \cdot 2^1 \cdot 3^x = (2^2)^x \cdot 2 \cdot 3^x = 4^x \cdot 2 \cdot 3^x$.
Теперь, используя свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$, сгруппируем члены с одинаковым показателем:
$2 \cdot (4^x \cdot 3^x) = 2 \cdot (4 \cdot 3)^x = 2 \cdot 12^x$.
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot 12^x = 2 \cdot 12^{4-x}$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$12^x = 12^{4-x}$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 4 - x$
$x + x = 4$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

б) Исходное уравнение: $2^{2x-1} \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x}$.
Преобразуем левую часть уравнения, как в предыдущем примере:
$2^{2x-1} \cdot 3^x = 2^{2x} \cdot 2^{-1} \cdot 3^x = (2^2)^x \cdot \frac{1}{2} \cdot 3^x = 4^x \cdot \frac{1}{2} \cdot 3^x = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 3)^x = \frac{1}{2} \cdot 12^x$.
Представим коэффициент 0,5 в правой части в виде дроби $\frac{1}{2}$:
$0,5 \cdot 12^{4-x} = \frac{1}{2} \cdot 12^{4-x}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{1}{2} \cdot 12^x = \frac{1}{2} \cdot 12^{4-x}$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$12^x = 12^{4-x}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x = 4 - x$
$2x = 4$
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

в) Исходное уравнение: $9 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} - 18 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} + 9 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно выражения $\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}$. Заметим, что $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} = \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}\right)^2$.
Чтобы упростить уравнение, введем замену. Пусть $y = \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2}$. Так как основание степени $\frac{5}{3} > 0$, то $y > 0$.
Подставим $y$ в исходное уравнение:
$9y^2 - 18y + 9 = 0$.
Разделим все члены уравнения на 9:
$y^2 - 2y + 1 = 0$.
Это формула квадрата разности:
$(y-1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $y-1=0$, то есть $y=1$.
Теперь выполним обратную замену:
$\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} = 1$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Мы можем представить 1 как $\left(\frac{5}{3}\right)^0$.
$\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} = \left(\frac{5}{3}\right)^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 = 0$.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x=0$.

95 a) $7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+4} = 5^{x+2} - 5^{x+3};$

б) $2^x - 2^{x+2} + 2^{x-1} = (3^{x+1} - 3^{x+2} + 3^x) \cdot \frac{2}{9}.$

а)

Исходное уравнение: $7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+4} = 5^{x+2} - 5^{x+3}$.

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить левую и правую части уравнения.

Преобразуем левую часть:
$7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+4} = 7 \cdot (3^x \cdot 3^1) - (3^x \cdot 3^4) = 7 \cdot 3 \cdot 3^x - 81 \cdot 3^x = 21 \cdot 3^x - 81 \cdot 3^x$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(21 - 81) = -60 \cdot 3^x$.

Преобразуем правую часть:
$5^{x+2} - 5^{x+3} = (5^x \cdot 5^2) - (5^x \cdot 5^3) = 25 \cdot 5^x - 125 \cdot 5^x$.
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(25 - 125) = -100 \cdot 5^x$.

Теперь приравняем упрощенные части:
$-60 \cdot 3^x = -100 \cdot 5^x$.

Разделим обе части уравнения на $-20$:
$3 \cdot 3^x = 5 \cdot 5^x$.

Сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части, а константы — в правой. Для этого разделим обе части на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ для любого $x$) и на 3:
$\frac{3 \cdot 3^x}{3 \cdot 5^x} = \frac{5}{3}$
$\frac{3^x}{5^x} = \frac{5}{3}$.

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:
$(\frac{3}{5})^x = \frac{5}{3}$.

Заметим, что $\frac{5}{3} = (\frac{3}{5})^{-1}$. Подставим это в уравнение:
$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$.

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

б)

Исходное уравнение: $2^x - 2^{x+2} + 2^{x-1} = (3^{x+1} - 3^{x+2} + 3^x) \cdot \frac{2}{9}$.

Упростим левую и правую части уравнения по отдельности, используя свойство степени $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$.

Левая часть (ЛЧ):
$2^x - 2^{x+2} + 2^{x-1} = 2^x - (2^x \cdot 2^2) + (2^x \cdot 2^{-1}) = 2^x - 4 \cdot 2^x + \frac{1}{2} \cdot 2^x$.
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(1 - 4 + \frac{1}{2}) = 2^x(-3 + \frac{1}{2}) = 2^x(-\frac{5}{2})$.

Правая часть (ПЧ):
Сначала упростим выражение в скобках:
$3^{x+1} - 3^{x+2} + 3^x = (3^x \cdot 3^1) - (3^x \cdot 3^2) + 3^x = 3 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^x + 1 \cdot 3^x$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 - 9 + 1) = 3^x(-5)$.
Теперь умножим результат на $\frac{2}{9}$:
ПЧ $= 3^x(-5) \cdot \frac{2}{9} = -\frac{10}{9} \cdot 3^x$.

Приравняем упрощенные левую и правую части:
$2^x(-\frac{5}{2}) = 3^x(-\frac{10}{9})$.

Разделим обе части уравнения на $-5$:
$2^x(\frac{1}{2}) = 3^x(\frac{2}{9})$.

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы — в правой. Для этого разделим обе части на $3^x$ (где $3^x > 0$) и умножим на 2:
$\frac{2^x}{3^x} = \frac{2}{9} \cdot 2$
$(\frac{2}{3})^x = \frac{4}{9}$.

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:
$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$.

Получаем уравнение:
$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^2$.

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

96 a) $ \log_3 \log_{\frac{9}{16}} (x^2 - 4x + 3) = 0; $

б) $ \log_{\frac{27}{11}} \log_5 (x^2 - 2x - 3) = 0; $

в) $ \log_{\frac{3}{7}} \log_6 (x^2 - 2x - 3) = 0; $

г) $ \log_{\frac{8}{3}} \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - x - 5) = 0. $

а) $log_3(log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3)) = 0$
Данное уравнение является логарифмическим уравнением вида $log_a(f(x))=0$. Его решение эквивалентно решению уравнения $f(x) = a^0 = 1$ при условии, что $f(x) > 0$.
В нашем случае $a=3$, а $f(x) = log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3)$.
Получаем уравнение:
$log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3) = 3^0 = 1$
Теперь мы имеем логарифмическое уравнение вида $log_b(g(x))=1$, решение которого эквивалентно $g(x) = b^1 = b$ при условии $g(x) > 0$.
В нашем случае $b=\frac{9}{16}$, а $g(x) = x^2 - 4x + 3$.
Получаем уравнение:
$x^2 - 4x + 3 = (\frac{9}{16})^1 = \frac{9}{16}$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы решить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 3 - \frac{9}{16} = 0$
$x^2 - 4x + \frac{48}{16} - \frac{9}{16} = 0$
$x^2 - 4x + \frac{39}{16} = 0$
Умножим уравнение на 16, чтобы избавиться от знаменателя:
$16x^2 - 64x + 39 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-64)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 39 = 4096 - 2496 = 1600 = 40^2$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 40}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 40}{2 \cdot 16} = \frac{104}{32} = \frac{13}{4}$
Условия области допустимых значений ($x^2 - 4x + 3 > 0$ и $log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3) > 0$) выполняются автоматически, так как в ходе решения мы получили $x^2 - 4x + 3 = \frac{9}{16}$ (что больше 0) и $log_{\frac{9}{16}}(x^2 - 4x + 3) = 1$ (что также больше 0).
Ответ: $x_1 = \frac{3}{4}, x_2 = \frac{13}{4}$.

б) $log_{\frac{27}{11}}(log_5(x^2 - 2x - 3)) = 0$
По определению логарифма, данное уравнение равносильно следующему:
$log_5(x^2 - 2x - 3) = (\frac{27}{11})^0 = 1$
Применим определение логарифма еще раз:
$x^2 - 2x - 3 = 5^1 = 5$
Перенесем 5 в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 3 - 5 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Используем теорему Виета. Сумма корней равна 2, а произведение равно -8.
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Подбором находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 4$.

в) $log_{\frac{3}{7}}(log_6(x^2 - 2x - 3)) = 0$
По определению логарифма, преобразуем уравнение:
$log_6(x^2 - 2x - 3) = (\frac{3}{7})^0 = 1$
Снова применяем определение логарифма:
$x^2 - 2x - 3 = 6^1 = 6$
Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 3 - 6 = 0$
$x^2 - 2x - 9 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$
Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{10}, x_2 = 1 + \sqrt{10}$.

г) $log_{\frac{8}{3}}(log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 5)) = 0$
Используя определение логарифма, получаем:
$log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 5) = (\frac{8}{3})^0 = 1$
Еще раз применяем определение логарифма. Обратите внимание, что основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1.
$x^2 - x - 5 = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - x - 5 - \frac{1}{2} = 0$
$x^2 - x - \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = 0$
$x^2 - x - \frac{11}{2} = 0$
Умножим уравнение на 2:
$2x^2 - 2x - 11 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 4 + 88 = 92$
$\sqrt{D} = \sqrt{92} = \sqrt{4 \cdot 23} = 2\sqrt{23}$
Находим корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 2\sqrt{23}}{2 \cdot 2} = \frac{2(1 \pm \sqrt{23})}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{23}}{2}$
Ответ: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{23}}{2}, x_2 = \frac{1 + \sqrt{23}}{2}$.

97 a) $4 \log_9 (x - 2) + \log_3 (x - 4)^2 = 0;$

б) $\log_2 182 - 4 \log_4 \sqrt{5 - x} = \log_2 (11 - x) + 1;$

в) $\log_x \sqrt{3} - \log_x^2 \sqrt{3} = \log_3 27 - \log_x (3x).$

a) $4 \log_9(x - 2) + \log_3(x - 4)^2 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

• $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
• $(x - 4)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 4$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a |b|$ (для четной степени $p$).

$4 \log_{3^2}(x - 2) + 2 \log_3|x - 4| = 0$

$4 \cdot \frac{1}{2} \log_3(x - 2) + 2 \log_3|x - 4| = 0$

$2 \log_3(x - 2) + 2 \log_3|x - 4| = 0$

Разделим обе части на 2:

$\log_3(x - 2) + \log_3|x - 4| = 0$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3((x - 2)|x - 4|) = 0$

По определению логарифма:

$(x - 2)|x - 4| = 3^0 = 1$

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$. Это удовлетворяет ОДЗ.

$(x - 2)(x - 4) = 1$

$x^2 - 4x - 2x + 8 - 1 = 0$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Проверяем корни на соответствие условию $x > 4$.

$x_1 = 3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1.41 = 4.41$. Так как $4.41 > 4$, корень подходит.

$x_2 = 3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1.41 = 1.59$. Так как $1.59 < 4$, корень не подходит для этого случая.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$. С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $2 < x < 4$.

$(x - 2)(-(x - 4)) = 1$

$-(x - 2)(x - 4) = 1$

$-x^2 + 6x - 8 = 1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x_3 = 3$. Этот корень принадлежит интервалу $2 < x < 4$ и удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $3; 3+\sqrt{2}$.

б) $\log_2 182 - 4\log_4 \sqrt{5-x} = \log_2(11-x) + 1$

Найдем ОДЗ:

• $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$
• $11 - x > 0 \Rightarrow x < 11$

Общая ОДЗ: $x < 5$.

Приведем все члены уравнения к логарифму по основанию 2.

$4\log_4 \sqrt{5-x} = 4\log_{2^2} (5-x)^{1/2} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 (5-x)^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 (5-x) = \log_2(5-x)$.

$1 = \log_2 2$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\log_2 182 - \log_2(5-x) = \log_2(11-x) + \log_2 2$

Используем свойства логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.

$\log_2 \frac{182}{5-x} = \log_2(2(11-x))$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{182}{5-x} = 2(11-x)$

$182 = 2(11-x)(5-x)$

$91 = (11-x)(5-x)$

$91 = 55 - 11x - 5x + x^2$

$x^2 - 16x + 55 - 91 = 0$

$x^2 - 16x - 36 = 0$

Решаем квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400 = 20^2$.

$x_{1,2} = \frac{16 \pm 20}{2}$

$x_1 = \frac{16 + 20}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

$x_2 = \frac{16 - 20}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x < 5$).

$x_1 = 18$ не удовлетворяет условию $18 < 5$, это посторонний корень.

$x_2 = -2$ удовлетворяет условию $-2 < 5$.

Ответ: $-2$.

в) $\log_x \sqrt{3} - \log_x^2 \sqrt{3} = \log_3 27 - \log_x(3x)$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, аргументы логарифмов - положительными.

• $x > 0$
• $x \neq 1$
• $3x > 0 \Rightarrow x > 0$

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим каждый член уравнения:

• $\log_x \sqrt{3} = \log_x 3^{1/2} = \frac{1}{2}\log_x 3$
• $\log_x^2 \sqrt{3} = (\frac{1}{2}\log_x 3)^2 = \frac{1}{4}(\log_x 3)^2$
• $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$
• $\log_x(3x) = \log_x 3 + \log_x x = \log_x 3 + 1$

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{1}{2}\log_x 3 - \frac{1}{4}(\log_x 3)^2 = 3 - (\log_x 3 + 1)$

$\frac{1}{2}\log_x 3 - \frac{1}{4}(\log_x 3)^2 = 2 - \log_x 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_x 3$.

$\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}t^2 = 2 - t$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей, и перенесем все члены в одну сторону:

$2t - t^2 = 8 - 4t$

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1=2$ и $t_2=4$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$:

$\log_x 3 = 2 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.

С учетом ОДЗ ($x > 0$), подходит корень $x_1 = \sqrt{3}$.

2. Если $t = 4$:

$\log_x 3 = 4 \Rightarrow x^4 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt[4]{3}$.

С учетом ОДЗ ($x > 0$), подходит корень $x_2 = \sqrt[4]{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\sqrt[4]{3}; \sqrt{3}$.

98. a) $5^{\lg x} = 50 - (10^{\lg 5})^{\lg x}$;

б) $3^{\lg x} = 54 - (10^{\lg 3})^{\lg x}$.

а) $5^{\lg x} = 50 - (10^{\lg 5})^{\lg x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования десятичного логарифма: $x > 0$.

Рассмотрим выражение в правой части уравнения: $(10^{\lg 5})^{\lg x}$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае, основание степени равно 10, и логарифм также десятичный ($\lg c = \log_{10} c$).

Следовательно, $10^{\lg 5} = 5$.

Подставив это в выражение, получаем: $(10^{\lg 5})^{\lg x} = 5^{\lg x}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^{\lg x} = 50 - 5^{\lg x}$

Произведем замену. Пусть $y = 5^{\lg x}$. Тогда уравнение примет вид:

$y = 50 - y$

$2y = 50$

$y = 25$

Вернемся к исходной переменной:

$5^{\lg x} = 25$

Так как $25 = 5^2$, получаем:

$5^{\lg x} = 5^2$

Приравниваем показатели степени:

$\lg x = 2$

По определению десятичного логарифма:

$x = 10^2$

$x = 100$

Полученный корень $x=100$ удовлетворяет ОДЗ ($100 > 0$).

Ответ: $100$.

б) $3^{\lg x} = 54 - (10^{\lg 3})^{\lg x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $x > 0$.

Упростим выражение $(10^{\lg 3})^{\lg x}$ в правой части.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$10^{\lg 3} = 3$

Тогда $(10^{\lg 3})^{\lg x} = 3^{\lg x}$.

Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:

$3^{\lg x} = 54 - 3^{\lg x}$

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{\lg x}$. Уравнение принимает вид:

$t = 54 - t$

$2t = 54$

$t = 27$

Выполним обратную замену:

$3^{\lg x} = 27$

Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

$3^{\lg x} = 3^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\lg x = 3$

Из определения десятичного логарифма следует:

$x = 10^3$

$x = 1000$

Корень $x=1000$ удовлетворяет ОДЗ ($1000 > 0$).

Ответ: $1000$.

99 a) $18^x - 9^{x+1} - 2^{x+2} + 36 = 0;$

б) $\log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} \sqrt{x} + \log_{\sqrt{x}} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \frac{3}{2} + \log_x (2\sqrt{6}).$

a) Решим показательное уравнение $18^x - 9^{x+1} - 2^{x+2} + 36 = 0$.

Сначала преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней:

• $18^x = (2 \cdot 9)^x = 2^x \cdot 9^x$
• $9^{x+1} = 9^x \cdot 9^1 = 9 \cdot 9^x$
• $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

$2^x \cdot 9^x - 9 \cdot 9^x - 4 \cdot 2^x + 36 = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2^x \cdot 9^x - 9 \cdot 9^x) - (4 \cdot 2^x - 36) = 0$

$9^x(2^x - 9) - 4(2^x - 9) = 0$

Вынесем общий множитель $(2^x - 9)$:

$(9^x - 4)(2^x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два отдельных уравнения:

1) $9^x - 4 = 0$

$9^x = 4$

$(3^2)^x = 2^2$

$3^{2x} = 2^2$

Логарифмируя обе части по основанию 3, получаем:

$2x = \log_3(2^2)$

$2x = 2\log_3 2$

$x = \log_3 2$

2) $2^x - 9 = 0$

$2^x = 9$

Логарифмируя обе части по основанию 2, получаем:

$x = \log_2 9$

$x = \log_2(3^2)$

$x = 2\log_2 3$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = \log_3 2$; $x = 2\log_2 3$.

б) Решим логарифмическое уравнение $\log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} \sqrt{x} + \log_{\sqrt{x}} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \frac{3}{2} + \log_x (2\sqrt{6})$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице.

• $\sqrt{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
• $\sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1$
• $\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5} > 0$. Проверим: $\sqrt{2}+\sqrt{3} \approx 1.41+1.73=3.14$, а $\sqrt{5} \approx 2.23$. Так как $3.14 > 2.23$, неравенство выполняется.

Итак, ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$.

Для удобства введем обозначения:

$A = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

$B = \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$

Найдем произведение $A$ и $B$:

$AB = ((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}) = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2+2\sqrt{6}+3)-5 = 5+2\sqrt{6}-5 = 2\sqrt{6}$.

Это полезное соотношение, так как выражение $2\sqrt{6}$ присутствует в правой части уравнения.

Перепишем исходное уравнение с новыми обозначениями:

$\log_A \sqrt{x} + \log_{\sqrt{x}} B = \frac{3}{2} + \log_x (AB)$

Преобразуем уравнение, приведя все логарифмы к одному основанию, например, $A$.

$\log_A \sqrt{x} = \frac{1}{2}\log_A x$

$\log_{\sqrt{x}} B = \frac{\log_A B}{\log_A \sqrt{x}} = \frac{\log_A B}{\frac{1}{2}\log_A x} = \frac{2\log_A B}{\log_A x}$

$\log_x (AB) = \frac{\log_A (AB)}{\log_A x} = \frac{\log_A A + \log_A B}{\log_A x} = \frac{1 + \log_A B}{\log_A x}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1}{2}\log_A x + \frac{2\log_A B}{\log_A x} = \frac{3}{2} + \frac{1 + \log_A B}{\log_A x}$

Сделаем замену $y = \log_A x$. Так как $x \ne 1$, то $y \ne 0$.

$\frac{y}{2} + \frac{2\log_A B}{y} = \frac{3}{2} + \frac{1 + \log_A B}{y}$

Умножим обе части уравнения на $2y$, чтобы избавиться от знаменателей:

$y^2 + 4\log_A B = 3y + 2(1 + \log_A B)$

$y^2 - 3y + 4\log_A B - 2 - 2\log_A B = 0$

$y^2 - 3y + (2\log_A B - 2) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2\log_A B - 2)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8\log_A B + 8}}{2}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{17 - 8\log_A B}}{2}$

Поскольку $y = \log_A x$, то $x = A^y$. Таким образом, решения для $x$:

$x_1 = A^{\frac{3 + \sqrt{17 - 8\log_A B}}{2}}$

$x_2 = A^{\frac{3 - \sqrt{17 - 8\log_A B}}{2}}$

где $A = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ и $B = \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$.

Поскольку $\log_A B = \log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ является константой, то найденные выражения для $x$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x = (\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^{\frac{3 \pm \sqrt{17 - 8\log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})} (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}}{2}}$.

100 a) $ \log_{3x} 4 - \log_{3x} 2 = 1; $

б) $ \log_{2x} 9 + \log_{2x} 3 = 3. $

a) $\log_{3x} 4 - \log_{3x} 2 = 1$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $3x$ должно быть положительным и не равняться единице.
Условия ОДЗ:
1. $3x > 0 \implies x > 0$
2. $3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1/3) \cup (1/3; +\infty)$.
Теперь решим уравнение. Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$.
$\log_{3x} (4/2) = 1$
$\log_{3x} 2 = 1$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:
$(3x)^1 = 2$
$3x = 2$
$x = 2/3$
Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. $x = 2/3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1/3$. Следовательно, корень подходит.
Ответ: $2/3$.

б) $\log_{2x} 9 + \log_{2x} 3 = 3$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $2x$ должно быть положительным и не равняться единице.
Условия ОДЗ:
1. $2x > 0 \implies x > 0$
2. $2x \neq 1 \implies x \neq 1/2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1/2) \cup (1/2; +\infty)$.
Теперь решим уравнение. Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\log_{2x} (9 \cdot 3) = 3$
$\log_{2x} 27 = 3$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:
$(2x)^3 = 27$
$8x^3 = 27$
$x^3 = 27/8$
$x^3 = (3/2)^3$
$x = 3/2$
Проверим, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. $x = 3/2$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1/2$. Следовательно, корень подходит.
Ответ: $3/2$.

Решите уравнение (101–107):

101 a) $\sin 2x = \sqrt{3} \cos x$;

б) $\sin 2x = \sqrt{2} \cos x$.

a) $ \sin 2x = \sqrt{3}\cos x $

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ 2\sin x \cos x = \sqrt{3}\cos x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ 2\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $ \cos x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\sin x - \sqrt{3} = 0 $

Выразим $ \sin x $:

$ 2\sin x = \sqrt{3} $

$ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, получаем:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединив решения обоих уравнений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 2x = \sqrt{2}\cos x $

Решаем это уравнение аналогично предыдущему. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $.

$ 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ \cos x $:

$ 2\sin x \cos x - \sqrt{2}\cos x = 0 $

$ \cos x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0 $

Получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \cos x = 0 $

Решение:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\sin x - \sqrt{2} = 0 $

Выразим $ \sin x $:

$ 2\sin x = \sqrt{2} $

$ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решение этого уравнения:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $, получаем:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяем найденные серии корней.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

102 a) $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 0$. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

б) $\sin 2x + \sqrt{3} \cos x = 0$. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$.

а) Сначала решим уравнение $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos x + \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$

$2 \cos x = -\sqrt{2}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Для серии $x = \pi k$ подходят значения:

• при $k=-1, x = -\pi$
• при $k=0, x = 0$
• при $k=1, x = \pi$

Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ подходят значения:

• при $n=0, x = \frac{3\pi}{4}$
• при $n=-1, x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$

Для серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ подходят значения:

• при $n=0, x = -\frac{3\pi}{4}$
• при $n=1, x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$

Объединяя все найденные корни и располагая их в порядке возрастания, получаем: $-\frac{5\pi}{4}, -\pi, -\frac{3\pi}{4}, 0, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; -\pi; -\frac{3\pi}{4}; 0; \frac{3\pi}{4}; \pi; \frac{5\pi}{4}$.

б) Сначала решим уравнение $\sin 2x + \sqrt{3} \cos x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \sin x + \sqrt{3} = 0$

$2 \sin x = -\sqrt{3}$

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$), где $n, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$.

Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ подходят значения:

• при $k=-1, x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$
• при $k=0, x = \frac{\pi}{2}$
• при $k=1, x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$

Для серий решений уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ подходят значения:

• $x = -\frac{\pi}{3}$ (при $n=0$ в серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$)
• $x = -\frac{2\pi}{3}$ (при $n=0$ в серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$)
• $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (при $n=1$)
• $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ (при $n=1$)

Объединяя все найденные корни и располагая их в порядке возрастания, получаем: $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}; \frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}$.

103 a) $sin(0.5\pi + x) + sin 2x = 0;$

б) $cos(0.5\pi + x) + sin 2x = 0.$

а) $sin(0,5\pi + x) + sin(2x) = 0$

Для решения этого уравнения мы воспользуемся формулой приведения и формулой двойного угла.

1. Применим формулу приведения $sin(0,5\pi + x) = sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x)$.

После замены уравнение принимает вид:

$cos(x) + sin(2x) = 0$

2. Теперь применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Подставим ее в уравнение:

$cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 0$

3. Вынесем общий множитель $cos(x)$ за скобки:

$cos(x)(1 + 2sin(x)) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$cos(x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, решениями которого являются:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$1 + 2sin(x) = 0$

$2sin(x) = -1$

$sin(x) = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(0,5\pi + x) + sin(2x) = 0$

Для решения этого уравнения мы также воспользуемся формулой приведения и формулой двойного угла.

1. Применим формулу приведения $cos(0,5\pi + x) = cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$.

После замены уравнение принимает вид:

$-sin(x) + sin(2x) = 0$

2. Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Подставим ее в уравнение:

$-sin(x) + 2sin(x)cos(x) = 0$

3. Вынесем общий множитель $sin(x)$ за скобки:

$sin(x)(-1 + 2cos(x)) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1:

$sin(x) = 0$

Это частный случай, решениями которого являются:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$-1 + 2cos(x) = 0$

$2cos(x) = 1$

$cos(x) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.