Страница 413 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (28–29):

28 а) $\sqrt{25-a^2} + \sqrt{13-a^2}$, если $\sqrt{25-a^2} - \sqrt{13-a^2} = 2;$

б) $\sqrt{34+a^2} - \sqrt{7+a^2}$, если $\sqrt{34+a^2} + \sqrt{7+a^2} = 6;$

в) $\sqrt[3]{(2+b)^2(21+b)} - \sqrt[3]{(2+b)(21+b)^2}$, если $\sqrt[3]{21+b} - \sqrt[3]{2+b} = 4;$

г) $\sqrt[3]{(3-2b)^2(1-2b)} - \sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}$, если $\sqrt[3]{3-2b} - \sqrt[3]{1-2b} = 2.$

а) Обозначим $x = \sqrt{25-a^2}$ и $y = \sqrt{13-a^2}$. Требуется найти значение выражения $x+y$, если по условию дано, что $x-y=2$.
Воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Вычислим $x^2$ и $y^2$:
$x^2 = (\sqrt{25-a^2})^2 = 25-a^2$
$y^2 = (\sqrt{13-a^2})^2 = 13-a^2$
Тогда их разность равна:
$x^2-y^2 = (25-a^2) - (13-a^2) = 25 - a^2 - 13 + a^2 = 12$.
Теперь подставим известные значения в формулу $(x+y)(x-y) = 12$:
$(x+y) \cdot 2 = 12$
Отсюда находим искомое значение:
$x+y = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6

б) Обозначим $x = \sqrt{34+a^2}$ и $y = \sqrt{7+a^2}$. Требуется найти значение выражения $x-y$, если по условию дано, что $x+y=6$.
Снова воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Вычислим $x^2$ и $y^2$:
$x^2 = (\sqrt{34+a^2})^2 = 34+a^2$
$y^2 = (\sqrt{7+a^2})^2 = 7+a^2$
Тогда их разность равна:
$x^2-y^2 = (34+a^2) - (7+a^2) = 34 + a^2 - 7 - a^2 = 27$.
Теперь подставим известные значения в формулу $(x+y)(x-y) = 27$:
$6 \cdot (x-y) = 27$
Отсюда находим искомое значение:
$x-y = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: 4,5

в) Обозначим $x = \sqrt[3]{21+b}$ и $y = \sqrt[3]{2+b}$. По условию дано, что $x-y=4$.
Выражение, значение которого нужно найти: $\sqrt[3]{(2+b)^2(21+b)} - \sqrt[3]{(2+b)(21+b)^2}$.
Используя наши обозначения, перепишем это выражение:
$\sqrt[3]{(2+b)^2} \cdot \sqrt[3]{21+b} - \sqrt[3]{2+b} \cdot \sqrt[3]{(21+b)^2} = y^2x - x^2y = xy(y-x)$.
Так как $x-y=4$, то $y-x = -4$. Значит, искомое выражение равно $xy \cdot (-4) = -4xy$.
Чтобы найти произведение $xy$, воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
$x^3 = (\sqrt[3]{21+b})^3 = 21+b$
$y^3 = (\sqrt[3]{2+b})^3 = 2+b$
$x^3-y^3 = (21+b) - (2+b) = 19$.
Подставим известные значения в формулу разности кубов:
$19 = 4 \cdot (x^2+xy+y^2)$.
Отсюда $x^2+xy+y^2 = \frac{19}{4}$.
Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, значит $x^2+y^2 = (x-y)^2+2xy = 4^2+2xy = 16+2xy$.
Подставим это в предыдущее равенство: $(16+2xy)+xy = \frac{19}{4}$.
$16+3xy = \frac{19}{4} \implies 3xy = \frac{19}{4} - 16 = \frac{19-64}{4} = -\frac{45}{4}$.
$xy = -\frac{15}{4}$.
Искомое значение равно $-4xy = -4 \cdot (-\frac{15}{4}) = 15$.
Ответ: 15

г) Обозначим $x = \sqrt[3]{3-2b}$ и $y = \sqrt[3]{1-2b}$. По условию дано, что $x-y=2$.
Выражение, значение которого нужно найти: $\sqrt[3]{(3-2b)^2(1-2b)} - \sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}$.
Используя наши обозначения, перепишем это выражение:
$\sqrt[3]{(3-2b)^2} \cdot \sqrt[3]{1-2b} - \sqrt[3]{3-2b} \cdot \sqrt[3]{(1-2b)^2} = x^2y - xy^2 = xy(x-y)$.
Так как $x-y=2$, искомое выражение равно $xy \cdot 2 = 2xy$.
Чтобы найти произведение $xy$, воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
$x^3 = (\sqrt[3]{3-2b})^3 = 3-2b$
$y^3 = (\sqrt[3]{1-2b})^3 = 1-2b$
$x^3-y^3 = (3-2b) - (1-2b) = 2$.
Подставим известные значения в формулу разности кубов:
$2 = 2 \cdot (x^2+xy+y^2)$.
Отсюда $x^2+xy+y^2 = 1$.
Мы знаем, что $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, значит $x^2+y^2 = (x-y)^2+2xy = 2^2+2xy = 4+2xy$.
Подставим это в предыдущее равенство: $(4+2xy)+xy = 1$.
$4+3xy = 1 \implies 3xy = -3 \implies xy = -1$.
Искомое значение равно $2xy = 2 \cdot (-1) = -2$.
Ответ: -2

29 a) $\frac{(a-b)^3 (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-3} + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}$, если $a = \log^2_{\frac{1}{3}} 8$, $b = \log^2_{\frac{1}{3}} 4$;

б) $\frac{c+d}{2\sqrt{c^3}} \cdot \left(\sqrt{\frac{c^2-cd}{c+d}} + \sqrt{\frac{c^2+cd}{c-d}}\right)$, если $c = 17\log_2 3$, $d = 2\log_{0,5} 81$;

B) $\left(\left(\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q}\right)^{-2} + \left(\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q}\right)^{-2}\right) : \frac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{p-q}$, если $p = \log^2_{\frac{1}{2}} 3$, $q = \log^2_2 9$.

а)

Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Пусть $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Тогда $a = x^2$ и $b = y^2$.

Выражение принимает вид:

$\frac{(x^2-y^2)^3 (x+y)^{-3} + 2(x^2)\sqrt{x^2} + (y^2)\sqrt{y^2}}{(x^2)\sqrt{x^2} + (y^2)\sqrt{y^2}} = \frac{(x^2-y^2)^3 (x+y)^{-3} + 2x^3 + y^3}{x^3 + y^3}$

Упростим первый член в числителе:

$(x^2-y^2)^3 (x+y)^{-3} = ((x-y)(x+y))^3 (x+y)^{-3} = (x-y)^3 (x+y)^3 (x+y)^{-3} = (x-y)^3$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{(x-y)^3 + 2x^3 + y^3}{x^3 + y^3}$

Раскроем куб разности в числителе: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Числитель становится равен:

$(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 2x^3 + y^3 = 3x^3 - 3x^2y + 3xy^2 = 3x(x^2 - xy + y^2)$

Знаменатель является суммой кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Теперь все выражение равно:

$\frac{3x(x^2 - xy + y^2)}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)} = \frac{3x}{x+y}$

Подставляя обратно $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{b}$, получаем: $\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

Теперь вычислим значения $a$ и $b$.

$a = \log_{\frac{2}{3}}^2 8 = (\log_{\frac{2}{3}} 8)^2 = \left(\frac{\log_2 8}{\log_2(2/3)}\right)^2 = \left(\frac{3}{\log_2 2 - \log_2 3}\right)^2 = \left(\frac{3}{1 - \log_2 3}\right)^2$

$b = \log_{\frac{1}{3}}^2 4 = (\log_{3^{-1}} 4)^2 = (-\log_3 4)^2 = (\log_3 4)^2 = (\log_3 2^2)^2 = (2\log_3 2)^2 = 4(\log_3 2)^2 = 4\left(\frac{1}{\log_2 3}\right)^2$

Пусть $t = \log_2 3$. Тогда $a = \left(\frac{3}{1 - t}\right)^2$ и $b = \frac{4}{t^2}$.

Найдем $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Так как $t = \log_2 3 > \log_2 2 = 1$, то $1-t < 0$.

$\sqrt{a} = \sqrt{\left(\frac{3}{1 - t}\right)^2} = \left|\frac{3}{1 - t}\right| = \frac{3}{-(1-t)} = \frac{3}{t-1}$

$\sqrt{b} = \sqrt{\frac{4}{t^2}} = \frac{2}{t}$ (поскольку $t>0$).

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{3 \cdot \frac{3}{t-1}}{\frac{3}{t-1} + \frac{2}{t}} = \frac{\frac{9}{t-1}}{\frac{3t + 2(t-1)}{t(t-1)}} = \frac{\frac{9}{t-1}}{\frac{5t-2}{t(t-1)}} = \frac{9}{t-1} \cdot \frac{t(t-1)}{5t-2} = \frac{9t}{5t-2}$

Заменяя $t$ обратно на $\log_2 3$, получаем конечный результат.

Ответ: $\frac{9\log_2 3}{5\log_2 3 - 2}$

б)

Сначала вычислим значения $c$ и $d$.

$c = 17 \log_2 3$

$d = 2 \log_{0.5} 81 = 2 \log_{2^{-1}} 3^4 = 2 \cdot (-4) \log_2 3 = -8 \log_2 3$

Пусть $L = \log_2 3$. Тогда $c = 17L$ и $d = -8L$. Заметим, что $L > 0$, поэтому $c > 0$ и $d < 0$.

Упростим данное выражение. ОДЗ: $c>0, c+d>0, c-d>0$.

$c+d=17L-8L=9L > 0$

$c-d=17L-(-8L)=25L > 0$. Все условия ОДЗ выполнены.

$\frac{c+d}{2\sqrt{c^3}} \cdot \left(\sqrt{\frac{c^2-cd}{c+d}} + \sqrt{\frac{c^2+cd}{c-d}}\right) = \frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \left(\sqrt{\frac{c(c-d)}{c+d}} + \sqrt{\frac{c(c+d)}{c-d}}\right)$

Вынесем $\sqrt{c}$ из скобок:

$\frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \sqrt{c} \left(\frac{\sqrt{c-d}}{\sqrt{c+d}} + \frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c-d}}\right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{c-d}\sqrt{c-d} + \sqrt{c+d}\sqrt{c+d}}{\sqrt{c+d}\sqrt{c-d}} = \frac{(c-d)+(c+d)}{\sqrt{c^2-d^2}} = \frac{2c}{\sqrt{c^2-d^2}}$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \sqrt{c} \cdot \frac{2c}{\sqrt{c^2-d^2}} = \frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \frac{2c\sqrt{c}}{\sqrt{c^2-d^2}} = \frac{c+d}{\sqrt{c^2-d^2}}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{c+d}{\sqrt{(c-d)(c+d)}} = \frac{\sqrt{(c+d)^2}}{\sqrt{c-d}\sqrt{c+d}} = \frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c-d}} = \sqrt{\frac{c+d}{c-d}}$

Теперь подставим значения $c+d=9L$ и $c-d=25L$:

$\sqrt{\frac{9L}{25L}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

в)

Сначала вычислим значения $p$ и $q$.

$p = \log_{\frac{1}{2}}^2 3 = (\log_{2^{-1}} 3)^2 = (-\log_2 3)^2 = (\log_2 3)^2$

$q = \log_2^2 9 = (\log_2 3^2)^2 = (2\log_2 3)^2 = 4(\log_2 3)^2$

Таким образом, мы видим, что $q = 4p$.

Упростим данное выражение. Пусть $x = \sqrt[4]{p}$ и $y = \sqrt[4]{q}$.

Первая часть выражения (в скобках):

$(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^{-2} + (\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^2} + \frac{1}{(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q})^2}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})^2}{((\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{q})(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{q}))^2} = \frac{(\sqrt{p}+2\sqrt[4]{pq}+\sqrt{q}) + (\sqrt{p}-2\sqrt[4]{pq}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2} = \frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}$

Вторая часть выражения (делитель):

$\frac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{p-q} = \frac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})(\sqrt{p}+\sqrt{q})} = \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{q}}$

Теперь выполним деление:

$\frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2} : \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{q}} = \frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2} \cdot (\sqrt{p}-\sqrt{q}) = \frac{2(\sqrt{p}+\sqrt{q})}{\sqrt{p}-\sqrt{q}}$

Подставим в это выражение соотношение $q=4p$. Отсюда $\sqrt{q}=\sqrt{4p}=2\sqrt{p}$.

$\frac{2(\sqrt{p}+2\sqrt{p})}{\sqrt{p}-2\sqrt{p}} = \frac{2(3\sqrt{p})}{-\sqrt{p}}$

Поскольку $p = (\log_2 3)^2 > 0$, то $\sqrt{p} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt{p}$:

$\frac{6\sqrt{p}}{-\sqrt{p}} = -6$

Ответ: $-6$

30 а) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{3}$, а пятый $\sqrt{243}$. Найдите шестой член прогрессии.

б) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{2}$, а седьмой $\sqrt{128}$. Найдите восьмой член прогрессии.

a)

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, первый член $b_1 = \sqrt{3}$, а пятый член $b_5 = \sqrt{243}$. Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для пятого члена ($n=5$) подставим известные значения в формулу: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$
$\sqrt{243} = \sqrt{3} \cdot q^4$
Отсюда выражаем и вычисляем $q^4$: $q^4 = \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{243}{3}} = \sqrt{81} = 9$.

Шестой член прогрессии $b_6$ можно найти по формуле $b_6 = b_5 \cdot q$. Из уравнения $q^4 = 9$ следует, что $q^2 = 3$, а значит, знаменатель $q = \pm\sqrt{3}$. Так как в условии нет ограничений на знак знаменателя, задача имеет два возможных решения.

1. Если $q = \sqrt{3}$, то $b_6 = \sqrt{243} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{243 \cdot 3} = \sqrt{729} = 27$.
2. Если $q = -\sqrt{3}$, то $b_6 = \sqrt{243} \cdot (-\sqrt{3}) = -\sqrt{729} = -27$.

Ответ: $27$ или $-27$.

б)

По условию, в геометрической прогрессии первый член $b_1 = \sqrt{2}$, а седьмой член $b_7 = \sqrt{128}$. Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. Формула для n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для седьмого члена ($n=7$) подставим известные значения: $b_7 = b_1 \cdot q^{6}$
$\sqrt{128} = \sqrt{2} \cdot q^6$
Отсюда выражаем и вычисляем $q^6$: $q^6 = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{128}{2}} = \sqrt{64} = 8$.

Восьмой член прогрессии $b_8$ можно найти по формуле $b_8 = b_7 \cdot q$. Из уравнения $q^6 = 8$ следует, что $q = \pm\sqrt[6]{8} = \pm\sqrt[6]{2^3} = \pm 2^{3/6} = \pm\sqrt{2}$. Так как в условии нет ограничений на знак знаменателя, задача имеет два возможных решения.

1. Если $q = \sqrt{2}$, то $b_8 = \sqrt{128} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{128 \cdot 2} = \sqrt{256} = 16$.
2. Если $q = -\sqrt{2}$, то $b_8 = \sqrt{128} \cdot (-\sqrt{2}) = -\sqrt{256} = -16$.

Ответ: $16$ или $-16$.

31 a) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых пяти членов с нечётными номерами на единицу больше суммы первых пяти членов с чётными номерами и равна квадрату первого члена.

б) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых четырёх членов с нечётными номерами на единицу меньше суммы первых четырёх членов с чётными номерами и равна взятому с отрицательным знаком квадрату первого члена.

а) Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Общий член прогрессии задается формулой $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Сумма первых пяти членов с нечётными номерами: $S_{нечёт} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$.
Выразим эти члены через $a_1$ и $d$:
$S_{нечёт} = a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) = 5a_1 + 20d$.
Сумма первых пяти членов с чётными номерами: $S_{чёт} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}$.
Выразим эти члены через $a_1$ и $d$:
$S_{чёт} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) = 5a_1 + 25d$.
Согласно условию, $S_{нечёт} = S_{чёт} + 1$ и $S_{нечёт} = a_1^2$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 5a_1 + 20d = (5a_1 + 25d) + 1 \\ 5a_1 + 20d = a_1^2 \end{cases}$
Решим первое уравнение системы, чтобы найти $d$:
$5a_1 + 20d = 5a_1 + 25d + 1$
$20d = 25d + 1$
$-5d = 1$
$d = -1/5 = -0.2$
Теперь подставим значение $d$ во второе уравнение системы:
$5a_1 + 20(-0.2) = a_1^2$
$5a_1 - 4 = a_1^2$
$a_1^2 - 5a_1 + 4 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Следовательно, корни $a_1 = 1$ и $a_1 = 4$.
Таким образом, мы получили два возможных набора значений для первого члена и разности прогрессии.
Ответ: $a_1=1, d=-0.2$ или $a_1=4, d=-0.2$.

б) Аналогично, пусть $a_1$ — первый член, а $d$ — разность арифметической прогрессии.
Сумма первых четырёх членов с нечётными номерами: $S_{нечёт} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7$.
$S_{нечёт} = a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) = 4a_1 + 12d$.
Сумма первых четырёх членов с чётными номерами: $S_{чёт} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8$.
$S_{чёт} = (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) = 4a_1 + 16d$.
По условию, $S_{нечёт} = S_{чёт} - 1$ и $S_{нечёт} = -a_1^2$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 4a_1 + 12d = (4a_1 + 16d) - 1 \\ 4a_1 + 12d = -a_1^2 \end{cases}$
Из первого уравнения системы найдём $d$:
$4a_1 + 12d = 4a_1 + 16d - 1$
$12d = 16d - 1$
$-4d = -1$
$d = 1/4 = 0.25$
Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение системы:
$4a_1 + 12(0.25) = -a_1^2$
$4a_1 + 3 = -a_1^2$
$a_1^2 + 4a_1 + 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $a_1 = -1$ и $a_1 = -3$.
Таким образом, мы получили два возможных набора значений.
Ответ: $a_1=-1, d=0.25$ или $a_1=-3, d=0.25$.

32 а) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии отрицателен. Найдите все целые числа m, для каждого из которых сумма её членов с нечётными номерами больше суммы её членов с чётными номерами на величину, равную произведению её второго члена и числа вида $m^2 + 10m + 20$.

б) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии положителен. Найдите все целые числа n, для каждого из которых сумма её членов с нечётными номерами больше суммы её членов с чётными номерами на величину, равную произведению её второго члена и числа вида $6n - n^2 - 7,5$.

а)

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.По условию прогрессия является бесконечно убывающей, значит $|q| < 1$. Также по условию знаменатель отрицателен, следовательно, $-1 < q < 0$.

Сумма членов прогрессии с нечётными номерами $S_{нечет}$ представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель равен $q^2$:

$S_{нечет} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + \dots = \frac{b_1}{1-q^2}$.

Сумма членов прогрессии с чётными номерами $S_{чет}$ также является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_2 = b_1q$, а знаменатель равен $q^2$:

$S_{чет} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots = b_1q + b_1q^3 + b_1q^5 + \dots = \frac{b_1q}{1-q^2}$.

По условию задачи, разность этих сумм равна произведению второго члена прогрессии $b_2$ и числа $m^2 + 10m + 20$. Составим уравнение:

$S_{нечет} - S_{чет} = b_2 \cdot (m^2 + 10m + 20)$

$\frac{b_1}{1-q^2} - \frac{b_1q}{1-q^2} = b_1q \cdot (m^2 + 10m + 20)$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{b_1(1-q)}{1-q^2} = \frac{b_1(1-q)}{(1-q)(1+q)} = \frac{b_1}{1+q}$

Предполагая, что $b_1 \neq 0$, подставим упрощенное выражение обратно в уравнение и разделим обе части на $b_1$:

$\frac{b_1}{1+q} = b_1q \cdot (m^2 + 10m + 20)$

$\frac{1}{1+q} = q \cdot (m^2 + 10m + 20)$

Выразим выражение с $m$:

$m^2 + 10m + 20 = \frac{1}{q(1+q)}$

Теперь нам нужно найти область значений функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ при условии $-1 < q < 0$.Рассмотрим знаменатель $g(q) = q(1+q) = q^2 + q$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $q=0$ и $q=-1$. Вершина параболы находится в точке $q_v = -\frac{1}{2}$, а значение в вершине $g(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.В интервале $(-1, 0)$ функция $g(q)$ принимает значения от своего минимума в вершине до 0 (не включая). Таким образом, $- \frac{1}{4} \le q(1+q) < 0$.

Следовательно, для обратной функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ область значений будет $(-\infty, -4]$.Таким образом, для существования такого $q$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

$m^2 + 10m + 20 \le -4$

$m^2 + 10m + 24 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $m^2 + 10m + 24 = 0$. По теореме Виета, корни $m_1 = -6$ и $m_2 = -4$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями, включая сами корни:

$-6 \le m \le -4$

Поскольку $m$ должно быть целым числом, возможные значения для $m$ это -6, -5, -4.

Ответ: -6, -5, -4.

б)

Аналогично пункту а), пусть $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.По условию прогрессия является бесконечно убывающей ($|q|<1$) и её знаменатель положителен ($q>0$), следовательно, $0 < q < 1$.

Выражения для сумм членов с нечётными ($S_{нечет}$) и чётными ($S_{чет}$) номерами остаются такими же:

$S_{нечет} = \frac{b_1}{1-q^2}$, $S_{чет} = \frac{b_1q}{1-q^2}$.

Разность сумм: $S_{нечет} - S_{чет} = \frac{b_1}{1+q}$.

По условию задачи, эта разность равна произведению второго члена $b_2$ и числа $6n - n^2 - 7,5$. Составляем уравнение:

$\frac{b_1}{1+q} = b_2 \cdot (6n - n^2 - 7,5)$

$\frac{b_1}{1+q} = b_1q \cdot (6n - n^2 - 7,5)$

Предполагая $b_1 \neq 0$ и разделив на $b_1q$, получим:

$6n - n^2 - 7,5 = \frac{1}{q(1+q)}$

Найдем область значений функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ при условии $0 < q < 1$.Рассмотрим знаменатель $g(q) = q(1+q) = q^2+q$. На интервале $(0, 1)$ эта функция возрастает.Найдем её значения на границах интервала: $g(0) = 0$, $g(1) = 1(1+1) = 2$.Следовательно, для $q \in (0, 1)$ область значений $g(q)$ есть интервал $(0, 2)$.

Тогда для обратной функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ область значений будет $(\frac{1}{2}, +\infty)$.Это означает, что для существования такого $q$ должно выполняться неравенство:

$6n - n^2 - 7,5 > \frac{1}{2}$

Перенесём все члены в одну сторону:

$6n - n^2 - 7,5 - 0,5 > 0$

$6n - n^2 - 8 > 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$n^2 - 6n + 8 < 0$

Найдем корни уравнения $n^2 - 6n + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = 2$ и $n_2 = 4$.Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - 6n + 8 < 0$ выполняется строго между корнями:

$2 < n < 4$

Единственным целым числом $n$, удовлетворяющим этому неравенству, является 3.

Ответ: 3.

33 a) О первых шести членах возрастающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 49. Найдите первый член этой прогрессии.

б) О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 51. Найдите седьмой член этой прогрессии.

а)Пусть $a_1, a_2, \dots, a_6$ — первые шесть членов возрастающей арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия возрастающая, значит $d > 0$.

Нам даны два условия:
1) Сумма пятых степеней: $a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + a_4^5 + a_5^5 + a_6^5 = 0$
2) Сумма четвёртых степеней: $a_1^4 + a_2^4 + a_3^4 + a_4^4 + a_5^4 + a_6^4 = 49$

Для удобства представим члены прогрессии симметрично относительно некоторого центра $c$. Так как членов 6 (чётное число), то центр будет находиться между $a_3$ и $a_4$. Члены прогрессии можно записать как:$c - \frac{5}{2}d, c - \frac{3}{2}d, c - \frac{1}{2}d, c + \frac{1}{2}d, c + \frac{3}{2}d, c + \frac{5}{2}d$.Рассмотрим сумму их пятых степеней. Используя формулу бинома Ньютона, для любой пары $(c-x)^5 + (c+x)^5$ все нечётные степени $c$ сократятся. Сумма всех шести членов будет представлять собой полином нечётной степени относительно $c$.$\sum_{k=1}^{6} a_k^5 = 0$Учитывая, что функция $f(x)=x^5$ является нечётной и строго возрастающей, равенство суммы нулю для членов арифметической прогрессии возможно только тогда, когда прогрессия симметрична относительно нуля. Это означает, что центр $c$ должен быть равен нулю.Таким образом, члены прогрессии имеют вид:$a_1 = -\frac{5}{2}d, a_2 = -\frac{3}{2}d, a_3 = -\frac{1}{2}d, a_4 = \frac{1}{2}d, a_5 = \frac{3}{2}d, a_6 = \frac{5}{2}d$.Теперь воспользуемся вторым условием. Так как $(-x)^4 = x^4$, сумма четвёртых степеней равна:$2 \cdot \left( \left(\frac{1}{2}d\right)^4 + \left(\frac{3}{2}d\right)^4 + \left(\frac{5}{2}d\right)^4 \right) = 49$$2 \cdot \frac{d^4}{16} \left( 1^4 + 3^4 + 5^4 \right) = 49$$\frac{d^4}{8} (1 + 81 + 625) = 49$$\frac{d^4}{8} \cdot 707 = 49$$d^4 = \frac{49 \cdot 8}{707} = \frac{392}{707}$Так как прогрессия возрастающая, $d > 0$, поэтому $d = \sqrt[4]{\frac{392}{707}}$.Нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$:$a_1 = -\frac{5}{2}d = -\frac{5}{2} \sqrt[4]{\frac{392}{707}}$
Ответ: $a_1 = -\frac{5}{2}\sqrt[4]{\frac{392}{707}}$.

б)Пусть $a_1, a_2, \dots, a_7$ — первые семь членов убывающей арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, прогрессия убывающая, значит $d < 0$.

Нам даны два условия:
1) Сумма пятых степеней: $\sum_{k=1}^{7} a_k^5 = 0$
2) Сумма четвёртых степеней: $\sum_{k=1}^{7} a_k^4 = 51$

Так как количество членов нечётно (семь), удобно представить их симметрично относительно среднего члена $a_4$:$a_4-3d, a_4-2d, a_4-d, a_4, a_4+d, a_4+2d, a_4+3d$.Рассмотрим сумму пятых степеней. Для каждой пары $(a_4-kd)^5 + (a_4+kd)^5$ получается выражение, в котором все коэффициенты при $d$ в нечётных степенях равны нулю. Сумма всех членов является полиномом относительно $a_4$ и $d$.$\sum_{k=1}^{7} a_k^5 = (a_4-3d)^5 + \dots + (a_4+3d)^5 + a_4^5 = 0$Из-за симметрии и нечётности степени, это уравнение имеет единственное вещественное решение $a_4=0$.Таким образом, члены прогрессии симметричны относительно нуля:$-3d, -2d, -d, 0, d, 2d, 3d$.Теперь используем второе условие. Так как $(-x)^4 = x^4$, сумма четвёртых степеней равна:$2 \cdot (d^4 + (2d)^4 + (3d)^4) + 0^4 = 51$$2d^4 (1^4 + 2^4 + 3^4) = 51$$2d^4 (1 + 16 + 81) = 51$$2d^4 \cdot 98 = 51$$196d^4 = 51$$d^4 = \frac{51}{196}$Так как прогрессия убывающая, $d < 0$. Найдём $d$:$d^2 = \sqrt{\frac{51}{196}} = \frac{\sqrt{51}}{14}$ (значение $d^2$ должно быть положительным).$d = -\sqrt{\frac{\sqrt{51}}{14}}$Нам нужно найти седьмой член прогрессии $a_7$. В нашей симметричной записи $a_7 = 3d$.$a_7 = 3d = -3\sqrt{\frac{\sqrt{51}}{14}}$Этот ответ можно также записать в виде $a_7 = -3\sqrt[4]{\frac{51}{196}}$.
Ответ: $a_7 = -3\sqrt{\frac{\sqrt{51}}{14}}$.