Номер 32, страница 413 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 32, страница 413.

Условие.

32 а) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии отрицателен. Найдите все целые числа m, для каждого из которых сумма её членов с нечётными номерами больше суммы её членов с чётными номерами на величину, равную произведению её второго члена и числа вида $m^2 + 10m + 20$.

б) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии положителен. Найдите все целые числа n, для каждого из которых сумма её членов с нечётными номерами больше суммы её членов с чётными номерами на величину, равную произведению её второго члена и числа вида $6n - n^2 - 7,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.По условию прогрессия является бесконечно убывающей, значит $|q| < 1$. Также по условию знаменатель отрицателен, следовательно, $-1 < q < 0$.

Сумма членов прогрессии с нечётными номерами $S_{нечет}$ представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель равен $q^2$:

$S_{нечет} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + \dots = \frac{b_1}{1-q^2}$.

Сумма членов прогрессии с чётными номерами $S_{чет}$ также является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_2 = b_1q$, а знаменатель равен $q^2$:

$S_{чет} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots = b_1q + b_1q^3 + b_1q^5 + \dots = \frac{b_1q}{1-q^2}$.

По условию задачи, разность этих сумм равна произведению второго члена прогрессии $b_2$ и числа $m^2 + 10m + 20$. Составим уравнение:

$S_{нечет} - S_{чет} = b_2 \cdot (m^2 + 10m + 20)$

$\frac{b_1}{1-q^2} - \frac{b_1q}{1-q^2} = b_1q \cdot (m^2 + 10m + 20)$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{b_1(1-q)}{1-q^2} = \frac{b_1(1-q)}{(1-q)(1+q)} = \frac{b_1}{1+q}$

Предполагая, что $b_1 \neq 0$, подставим упрощенное выражение обратно в уравнение и разделим обе части на $b_1$:

$\frac{b_1}{1+q} = b_1q \cdot (m^2 + 10m + 20)$

$\frac{1}{1+q} = q \cdot (m^2 + 10m + 20)$

Выразим выражение с $m$:

$m^2 + 10m + 20 = \frac{1}{q(1+q)}$

Теперь нам нужно найти область значений функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ при условии $-1 < q < 0$.Рассмотрим знаменатель $g(q) = q(1+q) = q^2 + q$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $q=0$ и $q=-1$. Вершина параболы находится в точке $q_v = -\frac{1}{2}$, а значение в вершине $g(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.В интервале $(-1, 0)$ функция $g(q)$ принимает значения от своего минимума в вершине до 0 (не включая). Таким образом, $- \frac{1}{4} \le q(1+q) < 0$.

Следовательно, для обратной функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ область значений будет $(-\infty, -4]$.Таким образом, для существования такого $q$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

$m^2 + 10m + 20 \le -4$

$m^2 + 10m + 24 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $m^2 + 10m + 24 = 0$. По теореме Виета, корни $m_1 = -6$ и $m_2 = -4$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями, включая сами корни:

$-6 \le m \le -4$

Поскольку $m$ должно быть целым числом, возможные значения для $m$ это -6, -5, -4.

Ответ: -6, -5, -4.

б)

Аналогично пункту а), пусть $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.По условию прогрессия является бесконечно убывающей ($|q|<1$) и её знаменатель положителен ($q>0$), следовательно, $0 < q < 1$.

Выражения для сумм членов с нечётными ($S_{нечет}$) и чётными ($S_{чет}$) номерами остаются такими же:

$S_{нечет} = \frac{b_1}{1-q^2}$, $S_{чет} = \frac{b_1q}{1-q^2}$.

Разность сумм: $S_{нечет} - S_{чет} = \frac{b_1}{1+q}$.

По условию задачи, эта разность равна произведению второго члена $b_2$ и числа $6n - n^2 - 7,5$. Составляем уравнение:

$\frac{b_1}{1+q} = b_2 \cdot (6n - n^2 - 7,5)$

$\frac{b_1}{1+q} = b_1q \cdot (6n - n^2 - 7,5)$

Предполагая $b_1 \neq 0$ и разделив на $b_1q$, получим:

$6n - n^2 - 7,5 = \frac{1}{q(1+q)}$

Найдем область значений функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ при условии $0 < q < 1$.Рассмотрим знаменатель $g(q) = q(1+q) = q^2+q$. На интервале $(0, 1)$ эта функция возрастает.Найдем её значения на границах интервала: $g(0) = 0$, $g(1) = 1(1+1) = 2$.Следовательно, для $q \in (0, 1)$ область значений $g(q)$ есть интервал $(0, 2)$.

Тогда для обратной функции $f(q) = \frac{1}{q(1+q)}$ область значений будет $(\frac{1}{2}, +\infty)$.Это означает, что для существования такого $q$ должно выполняться неравенство:

$6n - n^2 - 7,5 > \frac{1}{2}$

Перенесём все члены в одну сторону:

$6n - n^2 - 7,5 - 0,5 > 0$

$6n - n^2 - 8 > 0$

Умножим неравенство на -1 и сменим знак:

$n^2 - 6n + 8 < 0$

Найдем корни уравнения $n^2 - 6n + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = 2$ и $n_2 = 4$.Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - 6n + 8 < 0$ выполняется строго между корнями:

$2 < n < 4$

Единственным целым числом $n$, удовлетворяющим этому неравенству, является 3.

Ответ: 3.