Номер 39, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 39, страница 414.

Условие.

39 а) $y = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(5-x)^2}$;

б) $y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(3-x)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $y = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(5-x)^2}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$). Применим это свойство к каждому слагаемому в уравнении:

$y = |x-3| + |5-x|$

Для раскрытия модулей необходимо рассмотреть числовые промежутки, на которые координатную ось делят точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль.
$x-3 = 0 \implies x=3$
$5-x = 0 \implies x=5$

Таким образом, мы имеем три промежутка для рассмотрения: $x < 3$, $3 \le x \le 5$ и $x > 5$.

1. Рассмотрим промежуток $x < 3$.
На этом интервале выражение $x-3$ отрицательно, следовательно, $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.
Выражение $5-x$ положительно, следовательно, $|5-x| = 5-x$.
Подставляем в функцию:
$y = (-x+3) + (5-x) = -2x+8$.

2. Рассмотрим промежуток $3 \le x \le 5$.
На этом интервале выражение $x-3$ неотрицательно, следовательно, $|x-3| = x-3$.
Выражение $5-x$ также неотрицательно, следовательно, $|5-x| = 5-x$.
Подставляем в функцию:
$y = (x-3) + (5-x) = x-3+5-x = 2$.

3. Рассмотрим промежуток $x > 5$.
На этом интервале выражение $x-3$ положительно, следовательно, $|x-3| = x-3$.
Выражение $5-x$ отрицательно, следовательно, $|5-x| = -(5-x) = x-5$.
Подставляем в функцию:
$y = (x-3) + (x-5) = 2x-8$.

Объединяя все три случая, мы получаем кусочно-заданную функцию.
Ответ: $y = \begin{cases} -2x + 8, & \text{если } x < 3 \\ 2, & \text{если } 3 \le x \le 5 \\ 2x - 8, & \text{если } x > 5 \end{cases}$

---

б) $y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(3-x)^2}$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$y = |x-1| + |3-x|$

Найдем нули подмодульных выражений, чтобы определить интервалы для рассмотрения.
$x-1 = 0 \implies x=1$
$3-x = 0 \implies x=3$

Рассматриваем три промежутка: $x < 1$, $1 \le x \le 3$ и $x > 3$.

1. Рассмотрим промежуток $x < 1$.
На этом интервале $x-1 < 0$, поэтому $|x-1| = -(x-1) = -x+1$.
Выражение $3-x > 0$, поэтому $|3-x| = 3-x$.
Функция примет вид:
$y = (-x+1) + (3-x) = -2x+4$.

2. Рассмотрим промежуток $1 \le x \le 3$.
На этом интервале $x-1 \ge 0$, поэтому $|x-1| = x-1$.
Выражение $3-x \ge 0$, поэтому $|3-x| = 3-x$.
Функция примет вид:
$y = (x-1) + (3-x) = x-1+3-x = 2$.

3. Рассмотрим промежуток $x > 3$.
На этом интервале $x-1 > 0$, поэтому $|x-1| = x-1$.
Выражение $3-x < 0$, поэтому $|3-x| = -(3-x) = x-3$.
Функция примет вид:
$y = (x-1) + (x-3) = 2x-4$.

Объединяя результаты, получаем итоговое выражение для функции.
Ответ: $y = \begin{cases} -2x + 4, & \text{если } x < 1 \\ 2, & \text{если } 1 \le x \le 3 \\ 2x - 4, & \text{если } x > 3 \end{cases}$