Номер 43, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 43, страница 414.

Условие.

43 $y = \sin x |\sin x| - \cos x |\cos x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для упрощения данного выражения $y = \sin x |\sin x| - \cos x |\cos x|$, необходимо рассмотреть его на разных интервалах, в зависимости от знаков $\sin x$ и $\cos x$. Это связано с определением модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Знаки тригонометрических функций синуса и косинуса зависят от координатной четверти, в которой находится угол $x$. Рассмотрим четыре случая.

Случай 1: Первая координатная четверть

Для углов $x$ из первой четверти, то есть $x \in [2\pi k, 2\pi k + \frac{\pi}{2}]$, где $k$ — любое целое число, мы имеем $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$.

Поэтому $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

Подставляя это в исходную формулу, получаем:

$y = \sin x \cdot (\sin x) - \cos x \cdot (\cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$, находим:

$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$

Случай 2: Вторая координатная четверть

Для углов $x$ из второй четверти, $x \in [2\pi k + \frac{\pi}{2}, 2\pi k + \pi]$, мы имеем $\sin x \ge 0$ и $\cos x \le 0$.

Поэтому $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

Подставляем в формулу:

$y = \sin x \cdot (\sin x) - \cos x \cdot (-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$y = 1$

Случай 3: Третья координатная четверть

Для углов $x$ из третьей четверти, $x \in [2\pi k + \pi, 2\pi k + \frac{3\pi}{2}]$, мы имеем $\sin x \le 0$ и $\cos x \le 0$.

Поэтому $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$.

Подставляем в формулу:

$y = \sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot (-\cos x) = -\sin^2 x + \cos^2 x$

Используя формулу косинуса двойного угла, находим:

$y = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

Случай 4: Четвертая координатная четверть

Для углов $x$ из четвертой четверти, $x \in [2\pi k + \frac{3\pi}{2}, 2\pi k + 2\pi]$, мы имеем $\sin x \le 0$ и $\cos x \ge 0$.

Поэтому $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = \cos x$.

Подставляем в формулу:

$y = \sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot (\cos x) = -\sin^2 x - \cos^2 x$

Вынося общий множитель и применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$y = -(\sin^2 x + \cos^2 x) = -1$

Таким образом, исходная функция является кусочно-заданной. Можно записать ее итоговый вид.

Ответ:

Функция $y = \sin x |\sin x| - \cos x |\cos x|$ эквивалентна следующей кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} -\cos(2x), & \text{если } \sin x \ge 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \text{ (I четверть)} \\ 1, & \text{если } \sin x \ge 0 \text{ и } \cos x \le 0 \text{ (II четверть)} \\ \cos(2x), & \text{если } \sin x \le 0 \text{ и } \cos x \le 0 \text{ (III четверть)} \\ -1, & \text{если } \sin x \le 0 \text{ и } \cos x \ge 0 \text{ (IV четверть)} \end{cases}$

Это можно также представить в виде зависимости от интервалов аргумента $x$, учитывая периодичность $2\pi$ (где $k \in \mathbb{Z}$):

$y = \begin{cases} -\cos(2x), & \text{если } x \in [2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \\ 1, & \text{если } x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k] \\ \cos(2x), & \text{если } x \in [\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \\ -1, & \text{если } x \in [\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k] \end{cases}$