Номер 47, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 47, страница 415.

Условие.

47 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $ (y - 1)(x^2 - 3x - 18) = 0 $

б) $ (y + 1)(x^2 + 3x - 10) = 0 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Уравнение $(y - 1)(x^2 - 3x - 18) = 0$ представляет собой произведение, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $y - 1 = 0$

2) $x^2 - 3x - 18 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Из первого уравнения $y - 1 = 0$ получаем $y = 1$. Графиком этого уравнения на координатной плоскости является горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 1)$.

Второе уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Для нахождения его корней вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = -3$.

Эти решения, $x=6$ и $x=-3$, задают две вертикальные прямые, параллельные оси Oy. Первая прямая проходит через точку $(6, 0)$, вторая — через точку $(-3, 0)$.

Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному условию, является объединением трех прямых.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение трех прямых: $y=1$, $x=6$ и $x=-3$.

б)

Уравнение $(y + 1)(x^2 + 3x - 10) = 0$ также распадается на совокупность двух уравнений, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $y + 1 = 0$

2) $x^2 + 3x - 10 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение.

Из первого уравнения $y + 1 = 0$ получаем $y = -1$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую через точку $(0, -1)$.

Решим второе, квадратное уравнение $x^2 + 3x - 10 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

Эти решения, $x=2$ и $x=-5$, задают две вертикальные прямые, параллельные оси ординат. Прямая $x=2$ проходит через точку $(2, 0)$, а прямая $x=-5$ — через точку $(-5, 0)$.

Следовательно, множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному уравнению, является объединением трех прямых.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение трех прямых: $y=-1$, $x=2$ и $x=-5$.