Номер 44, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 44, страница 414.

Условие.

44. $y = \cos x \sqrt{\cos^2 x} - \sin x \sqrt{\sin^2 x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данной задачи необходимо упростить исходное выражение $y = \cos x \sqrt{\cos^2 x} - \sin x \sqrt{\sin^2 x}$.

Первый шаг — это раскрытие корней. Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашему выражению, получаем:

$\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$

$\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$

Таким образом, исходная формула преобразуется к виду:

$y = \cos x \cdot |\cos x| - \sin x \cdot |\sin x|$

Дальнейшее упрощение зависит от знаков тригонометрических функций $\cos x$ и $\sin x$, которые определяются координатной четвертью, в которой находится угол $x$. Поэтому рассмотрим четыре случая, где $n \in \mathbb{Z}$ — любое целое число.

Случай 1: $x$ находится в I четверти

Для углов $x \in [2\pi n, 2\pi n + \frac{\pi}{2}]$ выполняются неравенства $\cos x \ge 0$ и $\sin x \ge 0$. Следовательно, $|\cos x| = \cos x$ и $|\sin x| = \sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (\cos x) - \sin x \cdot (\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Применяя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем:

$y = \cos(2x)$

Случай 2: $x$ находится во II четверти

Для углов $x \in (2\pi n + \frac{\pi}{2}, 2\pi n + \pi]$ выполняются неравенства $\cos x \le 0$ и $\sin x \ge 0$. Следовательно, $|\cos x| = -\cos x$ и $|\sin x| = \sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (-\cos x) - \sin x \cdot (\sin x) = -\cos^2 x - \sin^2 x$

Вынося минус за скобки и используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, получаем:

$y = -(\cos^2 x + \sin^2 x) = -1$

Случай 3: $x$ находится в III четверти

Для углов $x \in (2\pi n + \pi, 2\pi n + \frac{3\pi}{2}]$ выполняются неравенства $\cos x \le 0$ и $\sin x \le 0$. Следовательно, $|\cos x| = -\cos x$ и $|\sin x| = -\sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (-\cos x) - \sin x \cdot (-\sin x) = -\cos^2 x + \sin^2 x$

Перегруппировав слагаемые и применив формулу косинуса двойного угла, получаем:

$y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$

Случай 4: $x$ находится в IV четверти

Для углов $x \in (2\pi n + \frac{3\pi}{2}, 2\pi + 2\pi n)$ выполняются неравенства $\cos x \ge 0$ и $\sin x \le 0$. Следовательно, $|\cos x| = \cos x$ и $|\sin x| = -\sin x$. Выражение для $y$ принимает вид:

$y = \cos x \cdot (\cos x) - \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$y = 1$

Объединив все четыре случая, мы получаем окончательное выражение для функции $y$.

Ответ: Итоговое выражение для $y$ является кусочно-заданной функцией:

$y = \begin{cases} \cos(2x), & \text{если } x \in [2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n] \\ -1, & \text{если } x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n] \\ -\cos(2x), & \text{если } x \in (\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n] \\ 1, & \text{если } x \in (\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n) \end{cases}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.