Номер 45, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 45, страница 415.

Условие.

45 $y = \sqrt{1 - 4 \sin^2 x \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для упрощения данного выражения преобразуем подкоренное выражение, используя тригонометрические тождества.

Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - 4 \sin^2 x \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x}$.

Рассмотрим выражение под корнем: $1 - 4 \sin^2 x \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x$.

Мы можем перегруппировать слагаемые и использовать формулы двойного угла:

1. Формула синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x$.

2. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Отсюда следует, что $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Подставим эти тождества в подкоренное выражение. Сначала перегруппируем слагаемые:

$1 - (4 \sin^2 x \cos^2 x) + (\sin^2 x - \cos^2 x)$

Теперь заменим выражения в скобках на их эквиваленты через двойной угол:

$1 - \sin^2(2x) - \cos(2x)$

Далее, применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому:

$1 - \sin^2(2x) = \cos^2(2x)$

Подставив это в наше выражение, получаем:

$\cos^2(2x) - \cos(2x)$

Таким образом, исходная функция упрощается до вида:

$y = \sqrt{\cos^2(2x) - \cos(2x)}$

Это выражение не может быть упрощено далее без дополнительных условий, так как оно определено только для тех значений $x$, при которых $\cos^2(2x) - \cos(2x) \ge 0$, то есть когда $\cos(2x) \le 0$ или $\cos(2x) = 1$.

Ответ: $y = \sqrt{\cos^2(2x) - \cos(2x)}$