Номер 49, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 49, страница 415.

Условие.

49 a) $y = \sqrt{\cos x - 1}$;

б) $y = \sqrt{\sin x - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для того чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{\cos x - 1}$, необходимо, чтобы выражение, находящееся под знаком квадратного корня, было неотрицательным. Это условие записывается в виде неравенства:
$\cos x - 1 \ge 0$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$\cos x \ge 1$
Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.
Сравнивая это свойство с полученным нами неравенством $\cos x \ge 1$, мы приходим к выводу, что оно может быть истинным только в одном случае — когда $\cos x$ принимает свое максимальное значение:
$\cos x = 1$
Это является простейшим тригонометрическим уравнением, решения которого имеют вид:
$x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения исходной функции состоит только из этих точек.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для того чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{\sin x - 1}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Запишем соответствующее неравенство:
$\sin x - 1 \ge 0$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$\sin x \ge 1$
Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Сравнивая это свойство с неравенством $\sin x \ge 1$, делаем вывод, что оно выполняется только тогда, когда $\sin x$ принимает свое максимальное значение:
$\sin x = 1$
Решениями этого простейшего тригонометрического уравнения являются точки вида:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения исходной функции состоит только из этих точек.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.