Номер 52, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 52, страница 415.

Условие.

52 а) $y = \sqrt{(x^4 - 4x^2 + 3)} \cdot |2x - 3|$

б) $y = \sqrt{(x^4 - 11x^2 + 18)} \cdot |2x - 5|$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{(x^4 - 4x^2 + 3) \cdot |2x - 3|}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным.

$(x^4 - 4x^2 + 3) \cdot |2x - 3| \ge 0$.

Множитель $|2x - 3|$ всегда неотрицателен, то есть $|2x - 3| \ge 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, произведение будет неотрицательным в двух случаях:

1. Если $|2x - 3| = 0$, что эквивалентно $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$. При этом значении $x$ всё подкоренное выражение равно нулю, что допустимо.

2. Если $|2x - 3| > 0$ (то есть $x \ne 1.5$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы первый множитель был неотрицателен:

$x^4 - 4x^2 + 3 \ge 0$.

Это биквадратное неравенство. Произведем замену переменной $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

$t^2 - 4t + 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $z = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, неравенство $t^2 - 4t + 3 \ge 0$ выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

- $t \le 1 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$. Решение: $x \in [-1, 1]$.

- $t \ge 3 \implies x^2 \ge 3 \implies x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$. Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Объединяя эти решения, получаем множество $(-\infty, -\sqrt{3}] \cup [-1, 1] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Итоговая область определения функции — это объединение множества, полученного в пункте 2, и точки из пункта 1. Так как $x = 1.5$ не принадлежит найденным интервалам ($1 < 1.5 < \sqrt{3}$), его необходимо добавить в ответ как изолированную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [-1, 1] \cup \{1.5\} \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

б)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{(x^4 - 11x^2 + 18) \cdot |2x - 5|}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным.

$(x^4 - 11x^2 + 18) \cdot |2x - 5| \ge 0$.

Множитель $|2x - 5|$ всегда неотрицателен, то есть $|2x - 5| \ge 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, произведение будет неотрицательным в двух случаях:

1. Если $|2x - 5| = 0$, что эквивалентно $2x - 5 = 0$, откуда $x = 2.5$. При этом значении $x$ всё подкоренное выражение равно нулю, что допустимо.

2. Если $|2x - 5| > 0$ (то есть $x \ne 2.5$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы первый множитель был неотрицателен:

$x^4 - 11x^2 + 18 \ge 0$.

Это биквадратное неравенство. Произведем замену переменной $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

$t^2 - 11t + 18 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 11t + 18 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 9$.

Графиком функции $z = t^2 - 11t + 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, неравенство $t^2 - 11t + 18 \ge 0$ выполняется при $t \le 2$ или $t \ge 9$.

Выполним обратную замену:

- $t \le 2 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$. Решение: $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

- $t \ge 9 \implies x^2 \ge 9 \implies x \le -3$ или $x \ge 3$. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Объединяя эти решения, получаем множество $(-\infty, -3] \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup [3, \infty)$.

Итоговая область определения функции — это объединение множества, полученного в пункте 2, и точки из пункта 1. Так как $x = 2.5$ не принадлежит найденным интервалам ($\sqrt{2} < 2.5 < 3$), его необходимо добавить в ответ как изолированную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup \{2.5\} \cup [3, \infty)$.