Номер 58, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 58, страница 415.

Условие.

58 Функция f(x) удовлетворяет следующему условию: для любых чисел a и b выполняется равенство $f\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac{f(a)+2f(b)}{3}$.

Найдите значение функции f(1999), если:

a) f(1) = 1 и f(4) = 7;

б) f(1) = 2 и f(4) = 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Данное функциональное уравнение $f\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac{f(a)+2f(b)}{3}$ является частным случаем функционального уравнения Йенсена. Геометрически это означает, что для любых двух точек $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ на графике функции, точка, делящая отрезок $AB$ в отношении $2:1$, считая от точки $B$, также лежит на этом графике.

Решением такого уравнения (если предположить непрерывность функции) является линейная функция вида $f(x) = kx + c$. Проверим, что любая линейная функция удовлетворяет этому уравнению, подставив $f(x) = kx + c$ в него.

Левая часть: $f\left(\frac{a+2b}{3}\right) = k\left(\frac{a+2b}{3}\right) + c = \frac{ka + 2kb}{3} + c$.

Правая часть: $\frac{f(a)+2f(b)}{3} = \frac{(ka+c) + 2(kb+c)}{3} = \frac{ka+c+2kb+2c}{3} = \frac{ka+2kb+3c}{3} = \frac{ka+2kb}{3} + c$.

Поскольку левая и правая части тождественно равны, функция вида $f(x)=kx+c$ является решением. Мы можем найти конкретные значения коэффициентов $k$ и $c$, используя данные в задаче условия.

а)

По условию, $f(1) = 1$ и $f(4) = 7$. Подставим эти значения в уравнение $f(x) = kx + c$, чтобы составить систему уравнений:

$\begin{cases} f(1) = k \cdot 1 + c = 1 \\ f(4) = k \cdot 4 + c = 7 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(4k+c) - (k+c) = 7 - 1$

$3k = 6$

$k = 2$

Теперь подставим найденное значение $k=2$ в первое уравнение системы:

$2 + c = 1$

$c = 1 - 2 = -1$

Таким образом, функция имеет вид $f(x) = 2x - 1$.

Теперь мы можем найти значение $f(1999)$:

$f(1999) = 2 \cdot 1999 - 1 = 3998 - 1 = 3997$.

Ответ: 3997

б)

По условию, $f(1) = 2$ и $f(4) = 8$. Снова составим систему уравнений на основе $f(x) = kx + c$:

$\begin{cases} f(1) = k \cdot 1 + c = 2 \\ f(4) = k \cdot 4 + c = 8 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(4k+c) - (k+c) = 8 - 2$

$3k = 6$

$k = 2$

Подставим $k=2$ в первое уравнение:

$2 + c = 2$

$c = 0$

В этом случае функция имеет вид $f(x) = 2x$.

Найдем значение $f(1999)$:

$f(1999) = 2 \cdot 1999 = 3998$.

Ответ: 3998