Номер 57, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 57, страница 415.

Условие.

57 a) Найдите наименьшее значение функции

$y = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{x^2 - x + 1}$

б) Найдите наибольшее значение функции

$y = \frac{x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5}{x - 2 - x^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{x^2 - x + 1}$.

Сначала проанализируем знаменатель $x^2 - x + 1$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), знаменатель всегда положителен при любом действительном значении $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Преобразуем числитель. Можно заметить, что он связан со знаменателем. Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе "уголком" или выделим полный квадрат. Попробуем второй способ, сгруппировав слагаемые:

$x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = (x^4 - 2x^3 + x^2) + (2x^2 - 2x + 2) = x^2(x^2 - 2x + 1) + 2(x^2 - x + 1)$. Это не совсем то. Попробуем выделить квадрат выражения $x^2 - x + 1$: $(x^2 - x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1 - 2x^3 + 2x^2 - 2x = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$. Сравнивая это с нашим числителем, видим, что: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) + 1 = (x^2 - x + 1)^2 + 1$.

Теперь подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(x^2 - x + 1)^2 + 1}{x^2 - x + 1} = \frac{(x^2 - x + 1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{x^2 - x + 1} = (x^2 - x + 1) + \frac{1}{x^2 - x + 1}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x + 1$. Найдем множество значений, которые может принимать $t$. Выражение $t(x) = x^2 - x + 1$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата $x$ вершины параболы: $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Наименьшее значение $t$ достигается в вершине:

$t_{min} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Таким образом, переменная $t$ принимает значения из промежутка $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

Наша задача свелась к нахождению наименьшего значения функции $y(t) = t + \frac{1}{t}$ при $t \ge \frac{3}{4}$. Можно использовать неравенство о средних арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): для $t > 0$ справедливо $t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$. Равенство достигается при $t = \frac{1}{t}$, то есть $t^2 = 1$, откуда $t=1$ (так как $t>0$). Исследуем поведение функции $y(t)$ с помощью производной: $y'(t) = (t + \frac{1}{t})' = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $t^2 - 1 = 0 \implies t = 1$ (так как $t \ge 3/4$). На интервале $[\frac{3}{4}, 1)$ производная $y'(t) < 0$, следовательно, функция убывает. На интервале $(1, +\infty)$ производная $y'(t) > 0$, следовательно, функция возрастает. Значит, в точке $t=1$ функция $y(t)$ достигает своего локального и глобального минимума на промежутке $[\frac{3}{4}, +\infty)$. Наименьшее значение функции равно:

$y_{min} = y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5}{x - 2 - x^2}$.

Преобразуем знаменатель: $x - 2 - x^2 = -(x^2 - x + 2)$. Проанализируем квадратичный трехчлен $x^2 - x + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 - x + 2$ всегда положительно. Следовательно, знаменатель $-(x^2 - x + 2)$ всегда отрицателен. Область определения функции — все действительные числа.

Преобразуем числитель. Выполним деление многочлена $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5$ на $x^2 - x + 2$ или заметим аналогию с предыдущей задачей и выделим полный квадрат выражения $x^2 - x + 2$: $(x^2 - x + 2)^2 = (x^2 - (x-2))^2 = x^4 - 2x^2(x-2) + (x-2)^2 = x^4 - 2x^3 + 4x^2 + x^2 - 4x + 4 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 4$. Тогда числитель можно представить в виде: $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5 = (x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 4) + 1 = (x^2 - x + 2)^2 + 1$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(x^2 - x + 2)^2 + 1}{-(x^2 - x + 2)} = - \left( \frac{(x^2 - x + 2)^2 + 1}{x^2 - x + 2} \right) = - \left( (x^2 - x + 2) + \frac{1}{x^2 - x + 2} \right)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x + 2$. Найдем множество значений $t$. График $t(x) = x^2 - x + 2$ — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Наименьшее значение $t$ равно:

$t_{min} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}$.

Таким образом, $t \ge \frac{7}{4}$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции $y(t) = -(t + \frac{1}{t})$ при $t \ge \frac{7}{4}$. Нахождение наибольшего значения $y(t)$ эквивалентно нахождению наименьшего значения функции $g(t) = t + \frac{1}{t}$ на том же промежутке, а затем взятию результата со знаком минус. Рассмотрим производную функции $g(t)$: $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$. На промежутке $[\frac{7}{4}, +\infty)$, у нас $t \ge \frac{7}{4} > 1$. Значит, $t^2 > 1$, и $0 < \frac{1}{t^2} < 1$. Следовательно, производная $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$ всегда положительна на этом промежутке. Это означает, что функция $g(t)$ монотонно возрастает при $t \ge \frac{7}{4}$. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в начальной точке промежутка, то есть при $t = \frac{7}{4}$. $g_{min} = g(\frac{7}{4}) = \frac{7}{4} + \frac{1}{7/4} = \frac{7}{4} + \frac{4}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 4 \cdot 4}{28} = \frac{49 + 16}{28} = \frac{65}{28}$.

Наибольшее значение исходной функции $y$ равно $-g_{min}$:

$y_{max} = -\frac{65}{28}$.

Ответ: $-\frac{65}{28}$