Номер 61, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 61, страница 416.

Условие.

61 Найдите $f(2001)$, если функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет уравнению:

a) $f(x + 1) = f(x) + 2x + 1$, и известно, что $f(0) = 0$;

б) $f(x + 1) = f(x) + 2x + 3$, и известно, что $f(0) = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим функциональное уравнение $f(x+1) = f(x) + 2x + 1$ с начальным условием $f(0) = 0$.

Данное уравнение является рекуррентным соотношением. Мы можем найти явный вид функции $f(n)$ для целых неотрицательных $n$, выразив $f(n)$ через $f(0)$ и сумму разностей. Из уравнения следует, что разность $f(k+1) - f(k) = 2k + 1$. Представим $f(n)$ в виде так называемой телескопической суммы:
$f(n) = f(0) + \sum_{k=0}^{n-1} (f(k+1) - f(k))$

Подставив в формулу известные значения из условия, получим:
$f(n) = 0 + \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)$

Вычислим полученную сумму, используя формулу суммы первых $m$ членов арифметической прогрессии и формулу суммы $m$ членов последовательности $k$: $\sum_{k=0}^{m-1} k = \frac{(m-1)m}{2}$.
$\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = 2 \sum_{k=0}^{n-1} k + \sum_{k=0}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + n = n(n-1) + n = n^2 - n + n = n^2$.

Таким образом, для целых неотрицательных аргументов $x=n$, функция имеет вид $f(n) = n^2$.
Проверим правильность найденной функции:
1. Начальное условие: $f(0) = 0^2 = 0$. Верно.
2. Уравнение: $f(x+1) = (x+1)^2 = x^2+2x+1$. Правая часть исходного уравнения: $f(x)+2x+1 = x^2+2x+1$. Тождество выполняется.

Теперь, используя полученную формулу, вычислим $f(2001)$:
$f(2001) = 2001^2 = (2000+1)^2 = 2000^2 + 2 \cdot 2000 \cdot 1 + 1^2 = 4\;000\;000 + 4\;000 + 1 = 4\;004\;001$.

Ответ: $4\;004\;001$

б)

Рассмотрим функциональное уравнение $f(x+1) = f(x) + 2x + 3$ с начальным условием $f(0) = 1$.

Будем действовать аналогично пункту а). Разность $f(k+1) - f(k) = 2k + 3$. Используем формулу с телескопической суммой:
$f(n) = f(0) + \sum_{k=0}^{n-1} (f(k+1) - f(k))$

Подставив известные значения из условия:
$f(n) = 1 + \sum_{k=0}^{n-1} (2k+3)$

Вычислим сумму:
$\sum_{k=0}^{n-1} (2k+3) = 2 \sum_{k=0}^{n-1} k + \sum_{k=0}^{n-1} 3 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 3n = n(n-1) + 3n = n^2 - n + 3n = n^2 + 2n$.

Теперь найдем явный вид функции $f(n)$:
$f(n) = 1 + (n^2 + 2n) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.
Для целых неотрицательных аргументов $x=n$, функция имеет вид $f(n) = (n+1)^2$.
Проверим правильность найденной функции:
1. Начальное условие: $f(0) = (0+1)^2 = 1^2 = 1$. Верно.
2. Уравнение: $f(x+1) = ((x+1)+1)^2 = (x+2)^2 = x^2+4x+4$. Правая часть: $f(x)+2x+3 = (x+1)^2 + 2x+3 = (x^2+2x+1)+2x+3 = x^2+4x+4$. Тождество выполняется.

Теперь, используя полученную формулу, вычислим $f(2001)$:
$f(2001) = (2001+1)^2 = 2002^2 = (2000+2)^2 = 2000^2 + 2 \cdot 2000 \cdot 2 + 2^2 = 4\;000\;000 + 8\;000 + 4 = 4\;008\;004$.

Ответ: $4\;008\;004$