Номер 66, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 66, страница 416.

Условие.

66 Докажите, что при нечётных $p$ и $q$ уравнение $x^2 + px + q = 0$ не имеет рациональных корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что данное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет хотя бы один рациональный корень.

Уравнение $x^2 + px + q = 0$ является приведённым многочленом (коэффициент при $x^2$ равен 1) с целыми коэффициентами, так как по условию $p$ и $q$ — нечётные, а значит, целые числа. Согласно теореме о рациональных корнях, если такой многочлен имеет рациональные корни, то они обязательно являются целыми числами и являются делителями свободного члена $q$.

Пусть $x=k$ — это целый корень нашего уравнения. Тогда $k$ должен быть делителем свободного члена $q$.

По условию задачи, коэффициент $q$ — нечётное число. Любой целый делитель нечётного числа также является нечётным. Следовательно, корень $k$ должен быть нечётным числом.

Теперь подставим целый корень $k$ в исходное уравнение и проанализируем чётность левой части: $$k^2 + pk + q = 0$$ Нам известно, что $p$ и $q$ — нечётные, и мы установили, что $k$ также должен быть нечётным.

Рассмотрим чётность каждого слагаемого в левой части:
• $k^2$: так как $k$ — нечётное число, его квадрат ($k \cdot k$) тоже нечётен.
• $pk$: так как $p$ и $k$ — нечётные числа, их произведение ($p \cdot k$) также нечётно.
• $q$: по условию, это нечётное число.

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму трёх нечётных чисел. Сумма двух нечётных чисел всегда даёт чётное число, а сумма чётного и нечётного числа всегда нечётна. Следовательно: $$(\text{нечётное} + \text{нечётное}) + \text{нечётное} = \text{чётное} + \text{нечётное} = \text{нечётное}$$

В результате мы получаем, что левая часть уравнения ($k^2 + pk + q$) — это нечётное число, а правая часть — это $0$, которое является чётным числом. Равенство, в котором нечётное число приравнивается к чётному, невозможно.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании рационального корня было неверным.

Ответ: Доказано, что при нечётных $p$ и $q$ уравнение $x^2 + px + q = 0$ не имеет рациональных корней.