Номер 68, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 68, страница 416.

Условие.

68 Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее корень:

а) $x = 4 - \sqrt{3}$;

б) $x = 2 + \sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, имея один иррациональный корень, воспользуемся свойством сопряженных корней. Если квадратный многочлен с рациональными коэффициентами имеет корень $x_1 = p + \sqrt{q}$, то он обязательно имеет и второй, сопряженный ему корень $x_2 = p - \sqrt{q}$.

В данном случае нам дан корень $x_1 = 4 - \sqrt{3}$. Следовательно, вторым корнем будет сопряженное ему число $x_2 = 4 + \sqrt{3}$.

Зная оба корня, можно составить приведенное квадратное уравнение вида $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$, используя теорему Виета.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = (4 - \sqrt{3}) + (4 + \sqrt{3}) = 8$.

Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $x_1 \cdot x_2 = (4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$.

Теперь подставим найденные значения в формулу приведенного квадратного уравнения: $x^2 - 8x + 13 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения $1, -8, 13$ являются рациональными числами, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $x^2 - 8x + 13 = 0$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Дан корень $x_1 = 2 + \sqrt{3}$. Так как коэффициенты уравнения должны быть рациональными, второй корень $x_2$ должен быть сопряженным первому: $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.

Найдем сумму и произведение корней для применения теоремы Виета.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Составляем приведенное квадратное уравнение по формуле $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Полученное уравнение имеет рациональные коэффициенты $1, -4, 1$.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.