Номер 71, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 71, страница 417.

Условие.

71 a) $1 + \frac{3}{x^2 - 9x + 18} = \frac{1}{x - 6};$

б) $1 + \frac{6}{x^2 - 8x + 7} = \frac{1}{x - 7};$

В) $1 + \frac{10}{x^2 - 8x + 15} = \frac{5}{x - 5};$

Г) $1 + \frac{6}{x^2 - 6x + 8} = \frac{3}{x - 4}.`$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Исходное уравнение: $1 + \frac{3}{x^2 - 9x + 18} = \frac{1}{x-6}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$x^2 - 9x + 18 \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$.
Из второго условия следует, что $x \neq 6$.
Для первого условия разложим квадратный трехчлен $x^2 - 9x + 18$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение 18, следовательно, корни это $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$.
Тогда $x^2 - 9x + 18 = (x-3)(x-6)$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 6$.
Перепишем уравнение, подставив разложенный знаменатель:
$1 + \frac{3}{(x-3)(x-6)} = \frac{1}{x-6}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x-6)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq 6$:
$1 \cdot (x-3)(x-6) + 3 = 1 \cdot (x-3)$.
Раскроем скобки и упростим:
$x^2 - 6x - 3x + 18 + 3 = x - 3$
$x^2 - 9x + 21 = x - 3$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 9x - x + 21 + 3 = 0$
$x^2 - 10x + 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.
Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=4$ удовлетворяет условиям ($4 \neq 3$ и $4 \neq 6$). Корень $x=6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Ответ: 4

б) Исходное уравнение: $1 + \frac{6}{x^2 - 8x + 7} = \frac{1}{x-7}$.
ОДЗ: $x^2 - 8x + 7 \neq 0$ и $x - 7 \neq 0$. Из второго условия $x \neq 7$.
Разложим на множители $x^2 - 8x + 7$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ по теореме Виета: $x_1=1, x_2=7$.
Значит, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Подставим разложение в уравнение:
$1 + \frac{6}{(x-1)(x-7)} = \frac{1}{x-7}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-1)(x-7)$:
$(x-1)(x-7) + 6 = 1 \cdot (x-1)$.
$x^2 - 7x - x + 7 + 6 = x - 1$
$x^2 - 8x + 13 = x - 1$
$x^2 - 9x + 14 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 7$).
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x=7$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Ответ: 2

в) Исходное уравнение: $1 + \frac{10}{x^2 - 8x + 15} = \frac{5}{x-5}$.
ОДЗ: $x^2 - 8x + 15 \neq 0$ и $x - 5 \neq 0$. Из второго условия $x \neq 5$.
Разложим на множители $x^2 - 8x + 15$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ по теореме Виета: $x_1=3, x_2=5$.
Значит, $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$.
ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 5$.
Подставим разложение в уравнение:
$1 + \frac{10}{(x-3)(x-5)} = \frac{5}{x-5}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-3)(x-5)$:
$1 \cdot (x-3)(x-5) + 10 = 5 \cdot (x-3)$.
$x^2 - 5x - 3x + 15 + 10 = 5x - 15$
$x^2 - 8x + 25 = 5x - 15$
$x^2 - 13x + 40 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 3, x \neq 5$).
Корень $x=5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 8

г) Исходное уравнение: $1 + \frac{6}{x^2 - 6x + 8} = \frac{3}{x-4}$.
ОДЗ: $x^2 - 6x + 8 \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$. Из второго условия $x \neq 4$.
Разложим на множители $x^2 - 6x + 8$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1=2, x_2=4$.
Значит, $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.
ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 4$.
Подставим разложение в уравнение:
$1 + \frac{6}{(x-2)(x-4)} = \frac{3}{x-4}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-2)(x-4)$:
$1 \cdot (x-2)(x-4) + 6 = 3 \cdot (x-2)$.
$x^2 - 4x - 2x + 8 + 6 = 3x - 6$
$x^2 - 6x + 14 = 3x - 6$
$x^2 - 9x + 20 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 2, x \neq 4$).
Корень $x=4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 5