Номер 77, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 77, страница 417.

Условие.

Решите уравнение (77–91):

77 a) $x = \sqrt{3x + 40}$;

б) $x = \sqrt{10x + 24}$;

в) $x = \sqrt{5x + 36}$;

г) $x = \sqrt{3x + 28}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{3x + 40}$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как левая часть уравнения $x$ равна значению арифметического квадратного корня, то $x$ должен быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Выражение под знаком корня также должно быть неотрицательным: $3x + 40 \ge 0$, что означает $x \ge -40/3$.
Объединяя два условия ($x \ge 0$ и $x \ge -40/3$), получаем итоговое ограничение: $x \ge 0$.
Теперь решим уравнение, возведя обе его части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$x^2 = (\sqrt{3x + 40})^2$
$x^2 = 3x + 40$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 40 = 0$
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 0$.
Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию, так как $8 \ge 0$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < 0$, и является посторонним корнем.
Проверка подстановкой: $8 = \sqrt{3 \cdot 8 + 40} \implies 8 = \sqrt{24 + 40} \implies 8 = \sqrt{64}$, что верно.
Ответ: 8.

б) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{10x + 24}$.
ОДЗ: $x \ge 0$ (так как $x$ равен значению корня) и $10x+24 \ge 0$. Условие $x \ge 0$ является более строгим.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{10x + 24})^2$
$x^2 = 10x + 24$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 10x - 24 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 12$ подходит, так как $12 \ge 0$.
Корень $x_2 = -2$ не подходит, так как $-2 < 0$.
Проверка подстановкой: $12 = \sqrt{10 \cdot 12 + 24} \implies 12 = \sqrt{120 + 24} \implies 12 = \sqrt{144}$, что верно.
Ответ: 12.

в) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{5x + 36}$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{5x + 36})^2$
$x^2 = 5x + 36$
Приведем уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 5x - 36 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Сравним корни с ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 \ge 0$).
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 < 0$), следовательно, это посторонний корень.
Проверка подстановкой: $9 = \sqrt{5 \cdot 9 + 36} \implies 9 = \sqrt{45 + 36} \implies 9 = \sqrt{81}$, что верно.
Ответ: 9.

г) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{3x + 28}$.
Область допустимых значений определяется условием $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{3x + 28})^2$
$x^2 = 3x + 28$
Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 28 = 0$
Вычислим дискриминант для нахождения корней:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Проверим корни по условию $x \ge 0$.
Корень $x_1 = 7$ подходит ($7 \ge 0$).
Корень $x_2 = -4$ не подходит ($-4 < 0$) и является посторонним.
Проверка подстановкой: $7 = \sqrt{3 \cdot 7 + 28} \implies 7 = \sqrt{21 + 28} \implies 7 = \sqrt{49}$, что верно.
Ответ: 7.