Номер 83, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 83, страница 418.

Условие.

83 a) $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4};$

б) $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20};$

в) $\sqrt{x^3 - 4x^2 + 20x - 81} = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 6x - 41};$

г) $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 15x - 77} = \sqrt{x^3 - 4x^2 + 2x - 37}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны, а одно из них (следовательно, и второе) — неотрицательно.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 5x^2 + 7x - 17 = x^3 - 4x^2 - 3x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (-5x^2 + 4x^2) + (7x + 3x) + (-17 - 4) = 0$

$-x^2 + 10x - 21 = 0$

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 21. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

2. Проверим найденные корни, подставив их в одно из подкоренных выражений, например, $x^3 - 4x^2 - 3x + 4 \ge 0$.

Для $x = 3$:

$3^3 - 4(3^2) - 3(3) + 4 = 27 - 4 \cdot 9 - 9 + 4 = 27 - 36 - 9 + 4 = -14$.

Так как $-14 < 0$, корень $x = 3$ является посторонним.

Для $x = 7$:

$7^3 - 4(7^2) - 3(7) + 4 = 343 - 4 \cdot 49 - 21 + 4 = 343 - 196 - 21 + 4 = 130$.

Так как $130 > 0$, корень $x = 7$ является решением.

Ответ: 7

б) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20}$.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 8x^2 - 7x + 2 = x^3 - 7x^2 - 18x + 20$

$-8x^2 - 7x + 2 = -7x^2 - 18x + 20$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 11$, $x_1 \cdot x_2 = 18$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

2. Проверим корни, подставив их в выражение $x^3 - 7x^2 - 18x + 20 \ge 0$.

Для $x = 2$:

$2^3 - 7(2^2) - 18(2) + 20 = 8 - 7 \cdot 4 - 36 + 20 = 8 - 28 - 36 + 20 = -36$.

Так как $-36 < 0$, корень $x = 2$ является посторонним.

Для $x = 9$:

$9^3 - 7(9^2) - 18(9) + 20 = 729 - 7 \cdot 81 - 162 + 20 = 729 - 567 - 162 + 20 = 20$.

Так как $20 > 0$, корень $x = 9$ является решением.

Ответ: 9

в) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 4x^2 + 20x - 81} = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 6x - 41}$.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 4x^2 + 20x - 81 = x^3 - 3x^2 + 6x - 41$

$-4x^2 + 20x - 81 = -3x^2 + 6x - 41$

$x^2 - 14x + 40 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 14$, $x_1 \cdot x_2 = 40$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = 10$.

2. Проверим корни, подставив их в выражение $x^3 - 3x^2 + 6x - 41 \ge 0$.

Для $x = 4$:

$4^3 - 3(4^2) + 6(4) - 41 = 64 - 3 \cdot 16 + 24 - 41 = 64 - 48 + 24 - 41 = -1$.

Так как $-1 < 0$, корень $x = 4$ является посторонним.

Для $x = 10$:

$10^3 - 3(10^2) + 6(10) - 41 = 1000 - 3 \cdot 100 + 60 - 41 = 1000 - 300 + 60 - 41 = 719$.

Так как $719 > 0$, корень $x = 10$ является решением.

Ответ: 10

г) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 15x - 77} = \sqrt{x^3 - 4x^2 + 2x - 37}$.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 5x^2 + 15x - 77 = x^3 - 4x^2 + 2x - 37$

$-5x^2 + 15x - 77 = -4x^2 + 2x - 37$

$x^2 - 13x + 40 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 13$, $x_1 \cdot x_2 = 40$. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$.

2. Проверим корни, подставив их в выражение $x^3 - 4x^2 + 2x - 37 \ge 0$.

Для $x = 5$:

$5^3 - 4(5^2) + 2(5) - 37 = 125 - 4 \cdot 25 + 10 - 37 = 125 - 100 + 10 - 37 = -2$.

Так как $-2 < 0$, корень $x = 5$ является посторонним.

Для $x = 8$:

$8^3 - 4(8^2) + 2(8) - 37 = 512 - 4 \cdot 64 + 16 - 37 = 512 - 256 + 16 - 37 = 235$.

Так как $235 > 0$, корень $x = 8$ является решением.

Ответ: 8