Номер 86, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 86, страница 418.

Условие.

86 a) $5\sqrt{x-2} + 3\sqrt{x+1} + 2x = 17;$

б) $\sqrt{3x-2} + 2\sqrt{x-1} + 5x = 14.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $5\sqrt{x-2} + 3\sqrt{x+1} + 2x = 17$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$, то есть $x \in [2, +\infty)$.

2. Проанализируем функцию в левой части уравнения.
Пусть $f(x) = 5\sqrt{x-2} + 3\sqrt{x+1} + 2x$.
Функции $y_1 = 5\sqrt{x-2}$, $y_2 = 3\sqrt{x+1}$ и $y_3 = 2x$ являются возрастающими на всей области определения. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения $[2, +\infty)$.

Это означает, что уравнение $f(x) = 17$ может иметь не более одного корня.

3. Найдем корень подбором.
Попробуем подставить целые значения $x$ из ОДЗ. Начнем с $x=3$, чтобы под корнями получились целые числа.
При $x=3$:
$5\sqrt{3-2} + 3\sqrt{3+1} + 2 \cdot 3 = 5\sqrt{1} + 3\sqrt{4} + 6 = 5 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 6 = 5 + 6 + 6 = 17$.
Получили верное равенство: $17 = 17$.

Таким образом, $x=3$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, то это и есть единственное решение.

Ответ: $x=3$

---

б) $\sqrt{3x-2} + 2\sqrt{x-1} + 5x = 14$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$3x-2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$, то есть $x \in [1, +\infty)$.

2. Проанализируем функцию в левой части уравнения.
Пусть $g(x) = \sqrt{3x-2} + 2\sqrt{x-1} + 5x$.
Функции $y_1 = \sqrt{3x-2}$, $y_2 = 2\sqrt{x-1}$ и $y_3 = 5x$ являются возрастающими на области определения $x \ge 1$. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на своей области определения $[1, +\infty)$.

Это означает, что уравнение $g(x) = 14$ может иметь не более одного корня.

3. Найдем корень подбором.
Попробуем подставить целые значения $x$ из ОДЗ. Проверим $x=2$, чтобы под вторым корнем получилось целое число.
При $x=2$:
$\sqrt{3 \cdot 2 - 2} + 2\sqrt{2-1} + 5 \cdot 2 = \sqrt{6-2} + 2\sqrt{1} + 10 = \sqrt{4} + 2 \cdot 1 + 10 = 2 + 2 + 10 = 14$.
Получили верное равенство: $14 = 14$.

Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, то это и есть единственное решение.

Ответ: $x=2$