Номер 87, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 87, страница 418.

Условие.

87 a) $\sqrt{3x - 15} - \sqrt{20 - 4x} + 7x = 35;$

б) $\sqrt{3x + 6} - \sqrt{-10 - 5x} - 0,5x = 1;$

В) $\sqrt{2x - 12} + \sqrt{30 - 5x} + 1,5x = 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим уравнение $\sqrt{3x-15} - \sqrt{20-4x} + 7x = 35$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 15 \ge 0 \\ 20 - 4x \ge 0 \end{array} \right.$
Решим систему неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} 3x \ge 15 \\ 20 \ge 4x \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 5 \\ 5 \ge x \end{array} \right.$
Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=5$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки $x=5$.
Проверим, является ли $x=5$ корнем исходного уравнения, подставив это значение в него:
$\sqrt{3(5)-15} - \sqrt{20-4(5)} + 7(5) = 35$
$\sqrt{15-15} - \sqrt{20-20} + 35 = 35$
$\sqrt{0} - \sqrt{0} + 35 = 35$
$0 - 0 + 35 = 35$
$35 = 35$
Равенство верное, следовательно, $x=5$ является решением уравнения.
Ответ: 5.

б) Решим уравнение $\sqrt{3x+6} - \sqrt{-10-5x} - 0,5x = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{ \begin{array}{l} 3x + 6 \ge 0 \\ -10 - 5x \ge 0 \end{array} \right.$
Решим систему неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} 3x \ge -6 \\ -10 \ge 5x \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} x \ge -2 \\ -2 \ge x \end{array} \right.$
Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=-2$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки $x=-2$.
Проверим, является ли $x=-2$ корнем исходного уравнения, подставив это значение в него:
$\sqrt{3(-2)+6} - \sqrt{-10-5(-2)} - 0,5(-2) = 1$
$\sqrt{-6+6} - \sqrt{-10+10} - (-1) = 1$
$\sqrt{0} - \sqrt{0} + 1 = 1$
$1 = 1$
Равенство верное, следовательно, $x=-2$ является решением уравнения.
Ответ: -2.

в) Решим уравнение $\sqrt{2x-12} + \sqrt{30-5x} + 1,5x = 10$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{ \begin{array}{l} 2x - 12 \ge 0 \\ 30 - 5x \ge 0 \end{array} \right.$
Решим систему неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} 2x \ge 12 \\ 30 \ge 5x \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 6 \\ 6 \ge x \end{array} \right.$
Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=6$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки $x=6$.
Проверим, является ли $x=6$ корнем исходного уравнения, подставив это значение в него:
$\sqrt{2(6)-12} + \sqrt{30-5(6)} + 1,5(6) = 10$
$\sqrt{12-12} + \sqrt{30-30} + 9 = 10$
$\sqrt{0} + \sqrt{0} + 9 = 10$
$0 + 0 + 9 = 10$
$9 = 10$
Получили неверное равенство. Следовательно, $x=6$ не является корнем уравнения. Так как других допустимых значений $x$ нет, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.