Номер 84, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 84, страница 418.

Условие.

84 a) $\sqrt{y-1} = 6-y;$

б) $\sqrt{x+1} = 4-x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим уравнение $ \sqrt{y-1} = 6 - y $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $ y - 1 \ge 0 $, что означает $ y \ge 1 $. Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $ 6 - y \ge 0 $, что означает $ y \le 6 $. Объединив оба условия, получаем ОДЗ: $ y \in [1, 6] $.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала: $ (\sqrt{y-1})^2 = (6 - y)^2 $
$ y - 1 = 36 - 12y + y^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ ay^2+by+c=0 $: $ y^2 - 12y - y + 36 + 1 = 0 $
$ y^2 - 13y + 37 = 0 $

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 169 - 148 = 21 $.

Корни уравнения находятся по формуле: $ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{21}}{2} $. Таким образом, мы имеем два потенциальных решения: $ y_1 = \frac{13 - \sqrt{21}}{2} $ и $ y_2 = \frac{13 + \sqrt{21}}{2} $.

Проверим каждый корень на соответствие ОДЗ ($ y \in [1, 6] $). Для этого оценим значение $ \sqrt{21} $. Поскольку $ 4^2=16 $ и $ 5^2=25 $, то $ 4 < \sqrt{21} < 5 $.

Для корня $ y_1 = \frac{13 - \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{13-5}{2} < y_1 < \frac{13-4}{2} \implies 4 < y_1 < 4.5 $. Это значение принадлежит интервалу $ [1, 6] $, следовательно, $ y_1 $ является решением.

Для корня $ y_2 = \frac{13 + \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{13+4}{2} < y_2 < \frac{13+5}{2} \implies 8.5 < y_2 < 9 $. Это значение не принадлежит интервалу $ [1, 6] $, поэтому $ y_2 $ является посторонним корнем.

Ответ: $ y = \frac{13 - \sqrt{21}}{2} $

б) Решим уравнение $ \sqrt{x+1} = 4 - x $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Условие для подкоренного выражения: $ x + 1 \ge 0 $, откуда $ x \ge -1 $. Условие для правой части уравнения: $ 4 - x \ge 0 $, откуда $ x \le 4 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [-1, 4] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $ (\sqrt{x+1})^2 = (4 - x)^2 $
$ x + 1 = 16 - 8x + x^2 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ ax^2+bx+c=0 $: $ x^2 - 8x - x + 16 - 1 = 0 $
$ x^2 - 9x + 15 = 0 $

Найдем дискриминант этого уравнения: $ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 81 - 60 = 21 $.

Найдем корни по формуле: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{21}}{2} $. Мы получили два корня: $ x_1 = \frac{9 - \sqrt{21}}{2} $ и $ x_2 = \frac{9 + \sqrt{21}}{2} $.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($ x \in [-1, 4] $). Используем оценку $ 4 < \sqrt{21} < 5 $.

Для корня $ x_1 = \frac{9 - \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{9-5}{2} < x_1 < \frac{9-4}{2} \implies 2 < x_1 < 2.5 $. Это значение находится внутри интервала $ [-1, 4] $, поэтому $ x_1 $ является решением.

Для корня $ x_2 = \frac{9 + \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{9+4}{2} < x_2 < \frac{9+5}{2} \implies 6.5 < x_2 < 7 $. Это значение не входит в интервал $ [-1, 4] $, следовательно, $ x_2 $ — посторонний корень.

Ответ: $ x = \frac{9 - \sqrt{21}}{2} $