Номер 88, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 88, страница 418.

Условие.

88 a) $\sqrt[3]{297-3x}+\sqrt{x-18}=9;$

б) $\sqrt[3]{200+2x}+\sqrt{300-x}=20;$

в) $\sqrt[3]{6+x}+\sqrt{35-x}=6;$

г) $\sqrt[3]{192+4x}+\sqrt{-32-x}=4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt[3]{297 - 3x} + \sqrt{x - 18} = 9$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 18 \ge 0 \implies x \ge 18$.

Для решения данного уравнения удобно использовать метод введения новых переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{297 - 3x}$ и $v = \sqrt{x - 18}$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $u + v = 9$. При этом, так как $v$ представляет собой арифметический квадратный корень, $v \ge 0$.

Теперь установим связь между переменными $u$ и $v$, исключив $x$. Из определений переменных имеем: $u^3 = 297 - 3x$ $v^2 = x - 18$ Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными: $3v^2 = 3x - 54$.

Теперь сложим уравнения для $u^3$ и $3v^2$: $u^3 + 3v^2 = (297 - 3x) + (3x - 54) = 297 - 54 = 243$.

В результате мы получили систему уравнений относительно $u$ и $v$: $\begin{cases} u + v = 9 \\ u^3 + 3v^2 = 243 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим $v$: $v = 9 - u$. Подставим это выражение во второе уравнение: $u^3 + 3(9 - u)^2 = 243$ $u^3 + 3(81 - 18u + u^2) = 243$ $u^3 + 243 - 54u + 3u^2 = 243$ $u^3 + 3u^2 - 54u = 0$

Вынесем общий множитель $u$ за скобки: $u(u^2 + 3u - 54) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1) $u = 0$ 2) $u^2 + 3u - 54 = 0$

Рассмотрим каждый случай. Случай 1: $u = 0$. Тогда $\sqrt[3]{297 - 3x} = 0 \implies 297 - 3x = 0 \implies 3x = 297 \implies x = 99$. Проверим этот корень. Если $u=0$, то $v = 9 - 0 = 9$. С другой стороны, $v = \sqrt{x - 18} = \sqrt{99 - 18} = \sqrt{81} = 9$. Значения сходятся. Корень $x=99$ удовлетворяет ОДЗ ($99 \ge 18$).

Случай 2: $u^2 + 3u - 54 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле: $D = 3^2 - 4(1)(-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$. $u_{1,2} = \frac{-3 \pm 15}{2}$. $u_1 = \frac{-3 + 15}{2} = 6$. $u_2 = \frac{-3 - 15}{2} = -9$.

Подслучай 2.1: $u = 6$. Тогда $\sqrt[3]{297 - 3x} = 6 \implies 297 - 3x = 6^3 = 216$. $3x = 297 - 216 = 81 \implies x = 27$. Проверим этот корень. Если $u=6$, то $v = 9 - 6 = 3$. С другой стороны, $v = \sqrt{x - 18} = \sqrt{27 - 18} = \sqrt{9} = 3$. Значения сходятся. Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 \ge 18$).

Подслучай 2.2: $u = -9$. Тогда $\sqrt[3]{297 - 3x} = -9 \implies 297 - 3x = (-9)^3 = -729$. $3x = 297 + 729 = 1026 \implies x = 342$. Проверим этот корень. Если $u=-9$, то $v = 9 - (-9) = 18$. С другой стороны, $v = \sqrt{x - 18} = \sqrt{342 - 18} = \sqrt{324} = 18$. Значения сходятся. Корень $x=342$ удовлетворяет ОДЗ ($342 \ge 18$).

Все три найденных значения являются решениями уравнения. Ответ: $x=27, x=99, x=342$.

б) $\sqrt[3]{200 + 2x} + \sqrt{300 - x} = 20$

ОДЗ: $300 - x \ge 0 \implies x \le 300$.

Введем замену переменных: $u = \sqrt[3]{200 + 2x}$ $v = \sqrt{300 - x}$ ($v \ge 0$) Уравнение принимает вид $u + v = 20$.

Найдем связь между $u$ и $v$: $u^3 = 200 + 2x$ $v^2 = 300 - x \implies 2v^2 = 600 - 2x$. Сложим эти два уравнения: $u^3 + 2v^2 = (200 + 2x) + (600 - 2x) = 800$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} u + v = 20 \\ u^3 + 2v^2 = 800 \end{cases}$

Из первого уравнения $v = 20 - u$. Подставляем во второе: $u^3 + 2(20 - u)^2 = 800$ $u^3 + 2(400 - 40u + u^2) = 800$ $u^3 + 800 - 80u + 2u^2 = 800$ $u^3 + 2u^2 - 80u = 0$ $u(u^2 + 2u - 80) = 0$

Рассматриваем случаи: Случай 1: $u = 0$. $\sqrt[3]{200 + 2x} = 0 \implies 200 + 2x = 0 \implies 2x = -200 \implies x = -100$. Проверка: $v = 20 - u = 20$. $v = \sqrt{300 - (-100)} = \sqrt{400} = 20$. Верно. $x=-100$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $u^2 + 2u - 80 = 0$. $D = 2^2 - 4(1)(-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$. $u_{1,2} = \frac{-2 \pm 18}{2}$. $u_1 = \frac{16}{2} = 8$. $u_2 = \frac{-20}{2} = -10$.

Подслучай 2.1: $u = 8$. $\sqrt[3]{200 + 2x} = 8 \implies 200 + 2x = 512 \implies 2x = 312 \implies x = 156$. Проверка: $v = 20 - 8 = 12$. $v = \sqrt{300 - 156} = \sqrt{144} = 12$. Верно. $x=156$ удовлетворяет ОДЗ.

Подслучай 2.2: $u = -10$. $\sqrt[3]{200 + 2x} = -10 \implies 200 + 2x = -1000 \implies 2x = -1200 \implies x = -600$. Проверка: $v = 20 - (-10) = 30$. $v = \sqrt{300 - (-600)} = \sqrt{900} = 30$. Верно. $x=-600$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-600, x=-100, x=156$.

в) $\sqrt[3]{6 + x} + \sqrt{35 - x} = 6$

ОДЗ: $35 - x \ge 0 \implies x \le 35$.

Введем замену переменных: $u = \sqrt[3]{6 + x}$ $v = \sqrt{35 - x}$ ($v \ge 0$) Уравнение принимает вид $u + v = 6$.

Найдем связь между $u$ и $v$: $u^3 = 6 + x$ $v^2 = 35 - x$ Сложим эти два уравнения: $u^3 + v^2 = (6 + x) + (35 - x) = 41$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} u + v = 6 \\ u^3 + v^2 = 41 \end{cases}$

Из первого уравнения $v = 6 - u$. Подставляем во второе: $u^3 + (6 - u)^2 = 41$ $u^3 + 36 - 12u + u^2 = 41$ $u^3 + u^2 - 12u - 5 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно $u$. Попробуем найти его рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $\frac{p}{q}$, то $p$ является делителем свободного члена ($-5$), а $q$ — делителем старшего коэффициента (1). Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 5$.

Проверим их, подставляя в уравнение $P(u) = u^3 + u^2 - 12u - 5 = 0$: $P(1) = 1^3 + 1^2 - 12(1) - 5 = 1+1-12-5 = -15 \ne 0$ $P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 12(-1) - 5 = -1+1+12-5 = 7 \ne 0$ $P(5) = 5^3 + 5^2 - 12(5) - 5 = 125+25-60-5 = 85 \ne 0$ $P(-5) = (-5)^3 + (-5)^2 - 12(-5) - 5 = -125+25+60-5 = -45 \ne 0$

Ни один из кандидатов не является корнем, следовательно, у данного кубического уравнения нет рациональных корней. Это означает, что исходное уравнение также не имеет рациональных решений (и, как следствие, целых). Анализ функции $P(u)$ показывает, что уравнение имеет три действительных корня. Каждый из этих корней $u$ дает соответствующий корень $x = u^3 - 6$. Заметим, что для существования $v = \sqrt{35-x}$ необходимо, чтобы $v = 6 - u \ge 0$, то есть $u \le 6$. Все три действительных корня уравнения $P(u)=0$ удовлетворяют этому условию. В стандартных задачниках такие уравнения обычно имеют "хорошие" решения, что указывает на возможную опечатку в условии задачи. Если решать задачу в точности как она дана, то ее решения являются иррациональными числами, которые не выражаются в простых радикалах.

Ответ: Уравнение не имеет рациональных корней. Три действительных корня уравнения могут быть найдены численными методами.

г) $\sqrt[3]{192 + 4x} + \sqrt{-32 - x} = 4$

ОДЗ: $-32 - x \ge 0 \implies -x \ge 32 \implies x \le -32$.

Введем замену переменных: $u = \sqrt[3]{192 + 4x}$ $v = \sqrt{-32 - x}$ ($v \ge 0$) Уравнение принимает вид $u + v = 4$.

Найдем связь между $u$ и $v$: $u^3 = 192 + 4x$ $v^2 = -32 - x \implies 4v^2 = -128 - 4x$. Сложим эти два уравнения: $u^3 + 4v^2 = (192 + 4x) + (-128 - 4x) = 64$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} u + v = 4 \\ u^3 + 4v^2 = 64 \end{cases}$

Из первого уравнения $v = 4 - u$. Подставляем во второе: $u^3 + 4(4 - u)^2 = 64$ $u^3 + 4(16 - 8u + u^2) = 64$ $u^3 + 64 - 32u + 4u^2 = 64$ $u^3 + 4u^2 - 32u = 0$ $u(u^2 + 4u - 32) = 0$

Рассматриваем случаи: Случай 1: $u = 0$. $\sqrt[3]{192 + 4x} = 0 \implies 192 + 4x = 0 \implies 4x = -192 \implies x = -48$. Проверка: $v = 4 - u = 4$. $v = \sqrt{-32 - (-48)} = \sqrt{16} = 4$. Верно. $x=-48$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $u^2 + 4u - 32 = 0$. Можно решить по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $u_1 = 4, u_2 = -8$. $(u - 4)(u + 8) = 0$.

Подслучай 2.1: $u = 4$. $\sqrt[3]{192 + 4x} = 4 \implies 192 + 4x = 64 \implies 4x = -128 \implies x = -32$. Проверка: $v = 4 - 4 = 0$. $v = \sqrt{-32 - (-32)} = \sqrt{0} = 0$. Верно. $x=-32$ удовлетворяет ОДЗ.

Подслучай 2.2: $u = -8$. $\sqrt[3]{192 + 4x} = -8 \implies 192 + 4x = -512 \implies 4x = -704 \implies x = -176$. Проверка: $v = 4 - (-8) = 12$. $v = \sqrt{-32 - (-176)} = \sqrt{144} = 12$. Верно. $x=-176$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-176, x=-48, x=-32$.