Номер 91, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Задания для повторения - номер 91, страница 418.
№91 (с. 418)
Условие. №91 (с. 418)
скриншот условия

91 a) $\sqrt{5 - x^2} = 1 - x;$
б) $\sqrt{x + 2} + \sqrt{8 - x} = \sqrt{15};$
В) $\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2}.$
Решение 1. №91 (с. 418)



Решение 2. №91 (с. 418)



Решение 4. №91 (с. 418)
a) $\sqrt{5 - x^2} = 1 - x$
Решение:
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню.
$\begin{cases} 5 - x^2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 \le 5 \\ x \le 1 \end{cases}$
$\begin{cases} -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5} \\ x \le 1 \end{cases}$
Пересекая эти два условия, получаем ОДЗ: $x \in [-\sqrt{5}, 1]$.
2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{5 - x^2})^2 = (1 - x)^2$
$5 - x^2 = 1 - 2x + x^2$
3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - x - 2 = 0$
4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются:
$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
5. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-\sqrt{5}, 1]$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \le 1$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-\sqrt{5} \approx -2.24$, и $-2.24 \le -1 \le 1$.
6. Выполним проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5 - (-1)^2} = 1 - (-1)$
$\sqrt{5 - 1} = 1 + 1$
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$. Равенство верно.
Ответ: $x = -1$.
б) $\sqrt{x+2} + \sqrt{8-x} = \sqrt{15}$
Решение:
1. Найдем ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 8 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-2, 8]$.
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{8-x})^2 = (\sqrt{15})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(8-x)} + (8-x) = 15$
3. Упростим уравнение:
$10 + 2\sqrt{8x - x^2 + 16 - 2x} = 15$
$10 + 2\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = 15$
4. Изолируем оставшийся радикал:
$2\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = 5$
$\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = \frac{5}{2}$
5. Снова возведем обе части в квадрат:
$-x^2 + 6x + 16 = (\frac{5}{2})^2$
$-x^2 + 6x + 16 = \frac{25}{4}$
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
$-4x^2 + 24x + 64 = 25$
6. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$4x^2 - 24x - 39 = 0$
7. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для корней:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(4)(-39)}}{2(4)}$
$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 624}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{1200}}{8}$
Упростим корень: $\sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}$.
$x = \frac{24 \pm 20\sqrt{3}}{8} = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{2}$
Получаем два корня:
$x_1 = \frac{6 + 5\sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{2}$.
8. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \in [-2, 8]$).
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $5\sqrt{3} \approx 8.66$.
$x_1 = \frac{6 + 8.66}{2} = \frac{14.66}{2} = 7.33$. Этот корень принадлежит ОДЗ $[-2, 8]$.
$x_2 = \frac{6 - 8.66}{2} = \frac{-2.66}{2} = -1.33$. Этот корень также принадлежит ОДЗ $[-2, 8]$.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $x = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{2}$.
в) $\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2}$
Решение:
1. Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:
$\begin{cases} 4x - x^2 \ge 0 \\ 4x - x^2 - 3 \ge 0 \\ 2x - x^2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x(4-x) \ge 0 \\ -(x^2 - 4x + 3) \ge 0 \\ x(2-x) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ (x-1)(x-3) \le 0 \\ 0 \le x \le 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in [0, 4] \\ x \in [1, 3] \\ x \in [0, 2] \end{cases}$
Пересечением этих трех промежутков является отрезок $[1, 2]$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, 2]$.
2. Проверим граничные точки ОДЗ. Подставим $x=2$ в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{4(2) - 2^2} + \sqrt{4(2) - 2^2 - 3} = \sqrt{8 - 4} + \sqrt{8 - 4 - 3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$.
Правая часть: $3 + \sqrt{2(2) - 2^2} = 3 + \sqrt{4 - 4} = 3 + 0 = 3$.
Поскольку левая часть равна правой, $x=2$ является корнем уравнения.
3. Исследуем уравнение на наличие других корней в интервале $[1, 2]$. Перепишем уравнение в виде $f(x) = 3$, где
$f(x) = \sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} - \sqrt{2x - x^2}$
Проанализируем монотонность функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$.
Рассмотрим каждую функцию-слагаемое:
- Функция $y_1(x) = \sqrt{4x - x^2} = \sqrt{4 - (x-2)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $4 - (x-2)^2$ возрастает (от 3 до 4), значит, и $y_1(x)$ возрастает.
- Функция $y_2(x) = \sqrt{4x - x^2 - 3} = \sqrt{1 - (x-2)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $1 - (x-2)^2$ возрастает (от 0 до 1), значит, и $y_2(x)$ возрастает.
- Функция $y_3(x) = \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x-1)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $1 - (x-1)^2$ убывает (от 1 до 0), значит, $y_3(x)$ убывает.
Функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($y_1(x)$ и $y_2(x)$) и еще одной возрастающей функции ($-y_3(x)$), так как $y_3(x)$ убывает. Следовательно, $f(x)$ является строго возрастающей функцией на отрезке $[1, 2]$.
4. Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Поскольку мы нашли, что $f(2) = 3$, то $x=2$ является единственным решением уравнения.
Ответ: $x = 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 91 расположенного на странице 418 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №91 (с. 418), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.