Номер 91, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 91, страница 418.

Условие.

91 a) $\sqrt{5 - x^2} = 1 - x;$

б) $\sqrt{x + 2} + \sqrt{8 - x} = \sqrt{15};$

В) $\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $\sqrt{5 - x^2} = 1 - x$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню.

$\begin{cases} 5 - x^2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 \le 5 \\ x \le 1 \end{cases}$

$\begin{cases} -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5} \\ x \le 1 \end{cases}$

Пересекая эти два условия, получаем ОДЗ: $x \in [-\sqrt{5}, 1]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{5 - x^2})^2 = (1 - x)^2$

$5 - x^2 = 1 - 2x + x^2$

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

5. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-\sqrt{5}, 1]$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \le 1$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-\sqrt{5} \approx -2.24$, и $-2.24 \le -1 \le 1$.

6. Выполним проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 - (-1)^2} = 1 - (-1)$

$\sqrt{5 - 1} = 1 + 1$

$\sqrt{4} = 2$

$2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $x = -1$.

б) $\sqrt{x+2} + \sqrt{8-x} = \sqrt{15}$

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 8 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [-2, 8]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{8-x})^2 = (\sqrt{15})^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(8-x)} + (8-x) = 15$

3. Упростим уравнение:

$10 + 2\sqrt{8x - x^2 + 16 - 2x} = 15$

$10 + 2\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = 15$

4. Изолируем оставшийся радикал:

$2\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = 5$

$\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = \frac{5}{2}$

5. Снова возведем обе части в квадрат:

$-x^2 + 6x + 16 = (\frac{5}{2})^2$

$-x^2 + 6x + 16 = \frac{25}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$-4x^2 + 24x + 64 = 25$

6. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - 24x - 39 = 0$

7. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(4)(-39)}}{2(4)}$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 624}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{1200}}{8}$

Упростим корень: $\sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}$.

$x = \frac{24 \pm 20\sqrt{3}}{8} = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{6 + 5\sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{2}$.

8. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \in [-2, 8]$).

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $5\sqrt{3} \approx 8.66$.

$x_1 = \frac{6 + 8.66}{2} = \frac{14.66}{2} = 7.33$. Этот корень принадлежит ОДЗ $[-2, 8]$.

$x_2 = \frac{6 - 8.66}{2} = \frac{-2.66}{2} = -1.33$. Этот корень также принадлежит ОДЗ $[-2, 8]$.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $x = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{2}$.

в) $\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2}$

Решение:

1. Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} 4x - x^2 \ge 0 \\ 4x - x^2 - 3 \ge 0 \\ 2x - x^2 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x(4-x) \ge 0 \\ -(x^2 - 4x + 3) \ge 0 \\ x(2-x) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ (x-1)(x-3) \le 0 \\ 0 \le x \le 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in [0, 4] \\ x \in [1, 3] \\ x \in [0, 2] \end{cases}$

Пересечением этих трех промежутков является отрезок $[1, 2]$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, 2]$.

2. Проверим граничные точки ОДЗ. Подставим $x=2$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{4(2) - 2^2} + \sqrt{4(2) - 2^2 - 3} = \sqrt{8 - 4} + \sqrt{8 - 4 - 3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$.

Правая часть: $3 + \sqrt{2(2) - 2^2} = 3 + \sqrt{4 - 4} = 3 + 0 = 3$.

Поскольку левая часть равна правой, $x=2$ является корнем уравнения.

3. Исследуем уравнение на наличие других корней в интервале $[1, 2]$. Перепишем уравнение в виде $f(x) = 3$, где

$f(x) = \sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} - \sqrt{2x - x^2}$

Проанализируем монотонность функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$.

Рассмотрим каждую функцию-слагаемое:

• Функция $y_1(x) = \sqrt{4x - x^2} = \sqrt{4 - (x-2)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $4 - (x-2)^2$ возрастает (от 3 до 4), значит, и $y_1(x)$ возрастает.
• Функция $y_2(x) = \sqrt{4x - x^2 - 3} = \sqrt{1 - (x-2)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $1 - (x-2)^2$ возрастает (от 0 до 1), значит, и $y_2(x)$ возрастает.
• Функция $y_3(x) = \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x-1)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $1 - (x-1)^2$ убывает (от 1 до 0), значит, $y_3(x)$ убывает.

Функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($y_1(x)$ и $y_2(x)$) и еще одной возрастающей функции ($-y_3(x)$), так как $y_3(x)$ убывает. Следовательно, $f(x)$ является строго возрастающей функцией на отрезке $[1, 2]$.

4. Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Поскольку мы нашли, что $f(2) = 3$, то $x=2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.