Номер 85, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 85, страница 418.

Условие.

85 а) $\sqrt{2x^2-8x+5}=x-2;$

б) $\sqrt{2x^2-8x+6}=x-2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x^2 - 8x + 5} = x - 2$.
Такое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность правой части (так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным). $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 8x + 5 = (x - 2)^2 \end{cases} $$ Заметим, что условие неотрицательности подкоренного выражения ($2x^2 - 8x + 5 \ge 0$) будет выполнено автоматически, поскольку оно приравнивается к полному квадрату $(x-2)^2$, который всегда неотрицателен.

1. Решим неравенство, чтобы найти область допустимых значений для $x$:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Таким образом, корень уравнения должен быть не меньше 2.

2. Решим уравнение: $2x^2 - 8x + 5 = (x - 2)^2$
$2x^2 - 8x + 5 = x^2 - 4x + 4$
Приведем подобные члены, перенеся все в левую часть: $(2x^2 - x^2) + (-8x + 4x) + (5 - 4) = 0$
$x^2 - 4x + 1 = 0$

3. Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
$\sqrt{D} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$
$x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$:
Корень $x_1 = 2 - \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $x_1 \approx 2 - 1.732 = 0.268$. Это значение меньше 2, поэтому $x_1$ является посторонним корнем.
Корень $x_2 = 2 + \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $2 + \sqrt{3} > 2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

---

б)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x^2 - 8x + 6} = x - 2$.
Аналогично предыдущему пункту, перейдем к равносильной системе: $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 8x + 6 = (x - 2)^2 \end{cases} $$

1. Из неравенства $x - 2 \ge 0$ следует, что $x \ge 2$. Это условие, которому должны удовлетворять корни.

2. Решим уравнение: $2x^2 - 8x + 6 = (x - 2)^2$
$2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 4x + 4$
Приведем подобные члены: $(2x^2 - x^2) + (-8x + 4x) + (6 - 4) = 0$
$x^2 - 4x + 2 = 0$

3. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$
$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$
$x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$

4. Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 2$:
Корень $x_1 = 2 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $x_1 \approx 2 - 1.414 = 0.586$. Это значение меньше 2, поэтому $x_1$ является посторонним корнем.
Корень $x_2 = 2 + \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $2 + \sqrt{2} > 2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $2 + \sqrt{2}$.