Страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

78 a) $\sqrt{10-x} = 4-x$;

б) $\sqrt{x-1} = x-3$;

в) $\sqrt{1+x} = 2x-4$;

г) $\sqrt{x+7} = 4x-5$;

д) $x+3\sqrt{x-5} = 5$;

е) $x+2\sqrt{x-6} = 6$;

ж) $\sqrt{x^4-3x-1} = x^2-1$;

з) $\sqrt{x^4+x-9} = x^2-1$;

и) $\sqrt{x(x-2)(x+3)} = 3-x$;

к) $\sqrt{x(x+4)(x-3)} = 6-x$.

а) $\sqrt{10-x} = 4-x$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и правая часть уравнения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} 10-x \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 10 \\ x \le 4 \end{cases} \implies x \le 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{10-x})^2 = (4-x)^2$
$10-x = 16 - 8x + x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 8x + x + 16 - 10 = 0$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 4$).
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \le 4$.
$x_2 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \le 4$, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $x=1$.

б) $\sqrt{x-1} = x-3$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 3$).
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \ge 3$ (посторонний корень).
$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 3$.
Ответ: $x=5$.

в) $\sqrt{1+x} = 2x-4$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 1+x \ge 0 \\ 2x-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ 2x \ge 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.
Возведем обе части в квадрат:
$1+x = (2x-4)^2$
$1+x = 4x^2 - 16x + 16$
$4x^2 - 17x + 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{17-7}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$, $x_2 = \frac{17+7}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 2$).
$x_1 = 1.25$ не удовлетворяет условию (посторонний корень).
$x_2 = 3$ удовлетворяет условию.
Ответ: $x=3$.

г) $\sqrt{x+7} = 4x-5$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 4x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ 4x \ge 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 1.25 \end{cases} \implies x \ge 1.25$.
Возведем обе части в квадрат:
$x+7 = (4x-5)^2$
$x+7 = 16x^2 - 40x + 25$
$16x^2 - 41x + 18 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-41)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 18 = 1681 - 1152 = 529 = 23^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{41-23}{2 \cdot 16} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$, $x_2 = \frac{41+23}{2 \cdot 16} = \frac{64}{32} = 2$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 1.25$).
$x_1 = \frac{9}{16} = 0.5625$ не удовлетворяет условию (посторонний корень).
$x_2 = 2$ удовлетворяет условию.
Ответ: $x=2$.

д) $x + 3\sqrt{x-5} = 5$
ОДЗ: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
Перенесем $x$ в правую часть: $3\sqrt{x-5} = 5-x$.
Из ОДЗ $x \ge 5$, тогда $5-x \le 0$. Левая часть $3\sqrt{x-5} \ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0.
$3\sqrt{x-5} = 0 \implies x-5=0 \implies x=5$.
При $x=5$ правая часть $5-x = 5-5 = 0$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=5$.

е) $x + 2\sqrt{x-6} = 6$
ОДЗ: $x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$.
Перенесем $x$ в правую часть: $2\sqrt{x-6} = 6-x$.
Из ОДЗ $x \ge 6$, тогда $6-x \le 0$. Левая часть $2\sqrt{x-6} \ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0.
$2\sqrt{x-6} = 0 \implies x-6=0 \implies x=6$.
При $x=6$ правая часть $6-x = 6-6 = 0$.
Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=6$.

ж) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 \ge 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$. Второе неравенство дает $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$
$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3-5}{4} = -0.5$, $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.
Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = -0.5$ не входит в область $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, это посторонний корень.
$x_2 = 2$ входит в область. Проверим первое условие ОДЗ для $x=2$: $2^4 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9 \ge 0$. Условие выполняется.
Ответ: $x=2$.

з) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^4 + x - 9 \ge 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$. Второе неравенство дает $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^4 + x - 9 = (x^2 - 1)^2$
$x^4 + x - 9 = x^4 - 2x^2 + 1$
$2x^2 + x - 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1-9}{4} = -2.5$, $x_2 = \frac{-1+9}{4} = 2$.
Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = -2.5$ входит в область $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. Проверка: $(-2.5)^4 + (-2.5) - 9 = 39.0625 - 2.5 - 9 = 27.5625 \ge 0$. Корень подходит.
$x_2 = 2$ входит в область. Проверка: $2^4 + 2 - 9 = 16 + 2 - 9 = 9 \ge 0$. Корень подходит.
Ответ: $x_1 = -2.5, x_2 = 2$.

и) $\sqrt{x(x-2)(x+3)} = 3-x$
Найдем ОДЗ:
1) $3-x \ge 0 \implies x \le 3$.
2) $x(x-2)(x+3) \ge 0$. Методом интервалов находим, что это выполняется при $x \in [-3, 0] \cup [2, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-3, 0] \cup [2, 3]$.
Возведем в квадрат обе части:
$x(x-2)(x+3) = (3-x)^2$
$x(x^2+x-6) = 9-6x+x^2$
$x^3+x^2-6x = 9-6x+x^2$
$x^3 = 9$
$x = \sqrt[3]{9}$.
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Так как $2^3=8$ и $3^3=27$, то $2 < \sqrt[3]{9} < 3$. Этот корень входит в промежуток $[2, 3]$ из ОДЗ.
Ответ: $x=\sqrt[3]{9}$.

к) $\sqrt{x(x+4)(x-3)} = 6-x$
Найдем ОДЗ:
1) $6-x \ge 0 \implies x \le 6$.
2) $x(x+4)(x-3) \ge 0$. Методом интервалов находим, что это выполняется при $x \in [-4, 0] \cup [3, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-4, 0] \cup [3, 6]$.
Возведем в квадрат обе части:
$x(x+4)(x-3) = (6-x)^2$
$x(x^2+x-12) = 36-12x+x^2$
$x^3+x^2-12x = 36-12x+x^2$
$x^3 = 36$
$x = \sqrt[3]{36}$.
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Так как $3^3=27$ и $4^3=64$, то $3 < \sqrt[3]{36} < 4$. Этот корень входит в промежуток $[3, 6]$ из ОДЗ.
Ответ: $x=\sqrt[3]{36}$.

79. а) $\sqrt{3x+3}=2x-3;$

б) $\sqrt{3x+2}=2x-4.$

а)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt{3x+3} = 2x-3 $.

Для решения уравнения такого вида необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем возвести обе части в квадрат. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня.

Составим систему неравенств для ОДЗ:

$ \begin{cases} 3x+3 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство в системе:

1) $ 3x \ge -3 \implies x \ge -1 $

2) $ 2x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{2} $ или $ x \ge 1.5 $

Общим решением системы является пересечение этих условий, то есть $ x \ge 1.5 $. Это и есть ОДЗ для нашего уравнения.

Теперь, когда ОДЗ найдена, возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$ (\sqrt{3x+3})^2 = (2x-3)^2 $

Используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ для правой части, получаем:

$ 3x+3 = 4x^2 - 12x + 9 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ ax^2 + bx + c = 0 $:

$ 4x^2 - 12x - 3x + 9 - 3 = 0 $

$ 4x^2 - 15x + 6 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Здесь коэффициенты $ a=4, b=-15, c=6 $.

$ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 225 - 96 = 129 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня, которые вычисляются по формуле:

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $

$ x_1 = \frac{15 - \sqrt{129}}{8} $

$ x_2 = \frac{15 + \sqrt{129}}{8} $

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 1.5 $).

Проверка для $ x_1 = \frac{15 - \sqrt{129}}{8} $. Оценим значение $ \sqrt{129} $. Мы знаем, что $ 11^2 = 121 $ и $ 12^2 = 144 $, следовательно, $ 11 < \sqrt{129} < 12 $. Тогда числитель $ 15 - \sqrt{129} $ находится в интервале $ (15-12, 15-11) $, то есть $ (3, 4) $. Значит, $ x_1 $ находится в интервале $ (\frac{3}{8}, \frac{4}{8}) $, то есть $ (0.375, 0.5) $. Это значение меньше, чем $ 1.5 $, поэтому корень $ x_1 $ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Проверка для $ x_2 = \frac{15 + \sqrt{129}}{8} $. Используя ту же оценку, числитель $ 15 + \sqrt{129} $ находится в интервале $ (15+11, 15+12) $, то есть $ (26, 27) $. Значит, $ x_2 $ находится в интервале $ (\frac{26}{8}, \frac{27}{8}) $, то есть $ (3.25, 3.375) $. Это значение больше, чем $ 1.5 $, поэтому корень $ x_2 $ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ \frac{15+\sqrt{129}}{8} $.

б)

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt{3x+2} = 2x-4 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и правая часть уравнения должны быть неотрицательными.

Составим систему неравенств для ОДЗ:

$ \begin{cases} 3x+2 \ge 0 \\ 2x-4 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $ 3x \ge -2 \implies x \ge -\frac{2}{3} $

2) $ 2x \ge 4 \implies x \ge 2 $

Пересечением этих двух условий является $ x \ge 2 $. Это ОДЗ уравнения.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{3x+2})^2 = (2x-4)^2 $

$ 3x+2 = 4x^2 - 16x + 16 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$ 4x^2 - 16x - 3x + 16 - 2 = 0 $

$ 4x^2 - 19x + 14 = 0 $

Решим это квадратное уравнение через дискриминант. Здесь $ a=4, b=-19, c=14 $.

$ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 361 - 224 = 137 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня:

$ x_1 = \frac{19 - \sqrt{137}}{8} $

$ x_2 = \frac{19 + \sqrt{137}}{8} $

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 2 $).

Проверка для $ x_1 = \frac{19 - \sqrt{137}}{8} $. Оценим $ \sqrt{137} $. Мы знаем, что $ 11^2 = 121 $ и $ 12^2 = 144 $, значит $ 11 < \sqrt{137} < 12 $. Тогда числитель $ 19 - \sqrt{137} $ находится в интервале $ (19-12, 19-11) $, то есть $ (7, 8) $. Следовательно, $ x_1 $ находится в интервале $ (\frac{7}{8}, \frac{8}{8}) $, то есть $ (0.875, 1) $. Это значение меньше $ 2 $, значит, корень $ x_1 $ является посторонним.

Проверка для $ x_2 = \frac{19 + \sqrt{137}}{8} $. Используя ту же оценку, числитель $ 19 + \sqrt{137} $ находится в интервале $ (19+11, 19+12) $, то есть $ (30, 31) $. Значит, $ x_2 $ находится в интервале $ (\frac{30}{8}, \frac{31}{8}) $, то есть $ (3.75, 3.875) $. Это значение больше $ 2 $, поэтому корень $ x_2 $ является решением.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $ \frac{19+\sqrt{137}}{8} $.

80 a) $x+1=2-\sqrt{x-1}$;

б) $1-\sqrt{x-2}=x-1.$

а)

Дано иррациональное уравнение: $x + 1 = 2 - \sqrt{x - 1}$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Для решения этого уравнения удобно использовать метод введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 1}$. Исходя из определения арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Возведем равенство $t = \sqrt{x - 1}$ в квадрат, чтобы выразить $x$ через $t$:

$t^2 = x - 1$

$x = t^2 + 1$

Теперь подставим выражения для $x$ и $\sqrt{x - 1}$ в исходное уравнение:

$(t^2 + 1) + 1 = 2 - t$

Упростим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2 = 2 - t$

$t^2 + t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Сравним найденные корни с условием $t \ge 0$. Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, он является посторонним. Единственный подходящий корень — это $t_1 = 0$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\sqrt{x - 1} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Найденный корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:

$1 + 1 = 2 - \sqrt{1 - 1}$

$2 = 2 - \sqrt{0}$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: 1.

б)

Дано иррациональное уравнение: $1 - \sqrt{x - 2} = x - 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x - 2}$. По определению корня, $t \ge 0$.

Выразим $x$ через $t$:

$t^2 = x - 2$

$x = t^2 + 2$

Подставим новые выражения в исходное уравнение:

$1 - t = (t^2 + 2) - 1$

Упростим уравнение:

$1 - t = t^2 + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = t^2 + t$

$t(t + 1) = 0$

Получаем два возможных корня для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается единственный корень $t_1 = 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{x - 2} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Найденный корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Проведем проверку, подставив $x = 2$ в исходное уравнение:

$1 - \sqrt{2 - 2} = 2 - 1$

$1 - \sqrt{0} = 1$

$1 - 0 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 2.

81 a) $x^2 - 13x + 30 = (\sqrt{3x - 18})^2;$

б) $x^2 - 9x + 13 = (\sqrt{5x - 35})^2;$

в) $x^2 - 8x + 10 = (\sqrt{7x - 40})^2;$

г) $x^2 - 15x + 55 = (\sqrt{x - 8})^2.$

а) $x^2 - 13x + 30 = (\sqrt{3x-18})^2$

Данное уравнение определено при условии, что подкоренное выражение неотрицательно. Это задает область допустимых значений (ОДЗ). Также, по определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$.

Запишем уравнение в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 13x + 30 = 3x - 18 \\ 3x - 18 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы найти ОДЗ:

$3x - 18 \ge 0$

$3x \ge 18$

$x \ge 6$

Теперь решим уравнение:

$x^2 - 13x + 30 = 3x - 18$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 13x - 3x + 30 + 18 = 0$

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 16$

$x_1 \cdot x_2 = 48$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 12$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ $x \ge 6$.

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 6$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 12$ удовлетворяет условию $12 \ge 6$, следовательно, это действительный корень уравнения.

Ответ: $12$.

б) $x^2 - 9x + 13 = (\sqrt{5x-35})^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 9x + 13 = 5x - 35 \\ 5x - 35 \ge 0 \end{cases}$

Найдем ОДЗ из неравенства:

$5x - 35 \ge 0$

$5x \ge 35$

$x \ge 7$

Решим уравнение:

$x^2 - 9x + 13 = 5x - 35$

$x^2 - 9x - 5x + 13 + 35 = 0$

$x^2 - 14x + 48 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 14$

$x_1 \cdot x_2 = 48$

Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \ge 7$.

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \ge 7$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 7$, значит, это корень исходного уравнения.

Ответ: $8$.

в) $x^2 - 8x + 10 = (\sqrt{7x-40})^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 10 = 7x - 40 \\ 7x - 40 \ge 0 \end{cases}$

Найдем ОДЗ из неравенства:

$7x - 40 \ge 0$

$7x \ge 40$

$x \ge \frac{40}{7}$

Решим уравнение:

$x^2 - 8x + 10 = 7x - 40$

$x^2 - 8x - 7x + 10 + 40 = 0$

$x^2 - 15x + 50 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 50$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 10$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \ge \frac{40}{7} \approx 5.71$.

Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $5 \ge \frac{40}{7}$, так как $5 = \frac{35}{7}$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $10 \ge \frac{40}{7}$, так как $10 = \frac{70}{7}$. Это корень исходного уравнения.

Ответ: $10$.

г) $x^2 - 15x + 55 = (\sqrt{x-8})^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 15x + 55 = x - 8 \\ x - 8 \ge 0 \end{cases}$

Найдем ОДЗ из неравенства:

$x - 8 \ge 0$

$x \ge 8$

Решим уравнение:

$x^2 - 15x + 55 = x - 8$

$x^2 - 15x - x + 55 + 8 = 0$

$x^2 - 16x + 63 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 16$

$x_1 \cdot x_2 = 63$

Корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \ge 8$.

Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $7 \ge 8$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 8$, значит, это корень исходного уравнения.

Ответ: $9$.

82 a) $\sqrt{3x - 5} = 3 - 2x;$

б) $\sqrt{4x^2 + 4x + 1} = x^2 + x - 1;$

В) $\sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9};$

Г) $\sqrt[4]{629 - x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8.$

а) $\sqrt{3x - 5} = 3 - 2x$
Для решения иррационального уравнения необходимо, чтобы обе его части были определены и чтобы правая часть была неотрицательна. Это приводит к системе неравенств, определяющей область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ 3 - 2x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$
2) $3 \ge 2x \implies x \le \frac{3}{2}$
Получаем систему: $\begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \le \frac{3}{2} \end{cases}$.
Так как $\frac{5}{3} \approx 1.67$, а $\frac{3}{2} = 1.5$, и $1.67 > 1.5$, то система не имеет решений. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы корректным.

Альтернативный способ — решить уравнение, а затем проверить корни.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x - 5})^2 = (3 - 2x)^2$
$3x - 5 = 9 - 12x + 4x^2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$4x^2 - 12x - 3x + 9 + 5 = 0$
$4x^2 - 15x + 14 = 0$
Решим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 225 - 224 = 1$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$
Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение.
Для $x_1 = 2$:
$\sqrt{3(2) - 5} = \sqrt{6 - 5} = \sqrt{1} = 1$
$3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$
Получили $1 = -1$, что неверно. Корень $x=2$ является посторонним.
Для $x_2 = \frac{7}{4}$:
$\sqrt{3(\frac{7}{4}) - 5} = \sqrt{\frac{21}{4} - \frac{20}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
$3 - 2(\frac{7}{4}) = 3 - \frac{7}{2} = \frac{6 - 7}{2} = -\frac{1}{2}$
Получили $\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$, что неверно. Корень $x=\frac{7}{4}$ также является посторонним.
Таким образом, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

б) $\sqrt{4x^2 + 4x + 1} = x^2 + x - 1$
Выражение под корнем $4x^2 + 4x + 1$ является полным квадратом $(2x + 1)^2$.
Уравнение можно переписать в виде:
$\sqrt{(2x + 1)^2} = x^2 + x - 1$
$|2x + 1| = x^2 + x - 1$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна модулю: $x^2 + x - 1 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 + x - 1 = 0$: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Неравенство $x^2 + x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1) Если $2x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -0.5$.
Уравнение принимает вид: $2x + 1 = x^2 + x - 1$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по условию $x \ge -0.5$.
$x_1 = 2$: $2 \ge -0.5$ (верно). Также $2$ входит в ОДЗ: $2 > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$. Следовательно, $x=2$ — корень.
$x_2 = -1$: $-1 < -0.5$ (неверно). Этот корень не подходит для данного случая.
2) Если $2x + 1 < 0$, то есть $x < -0.5$.
Уравнение принимает вид: $-(2x + 1) = x^2 + x - 1$
$-2x - 1 = x^2 + x - 1$
$x^2 + 3x = 0$
$x(x + 3) = 0$
Корни $x_3 = 0$ и $x_4 = -3$.
Проверяем корни по условию $x < -0.5$.
$x_3 = 0$: $0$ не меньше $-0.5$ (неверно).
$x_4 = -3$: $-3 < -0.5$ (верно). Также $-3$ входит в ОДЗ: $-3 < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$. Следовательно, $x=-3$ — корень.
Объединяя результаты, получаем два решения.
Ответ: $x = -3, x = 2$.

в) $\sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9}$
Во всех подкоренных выражениях присутствует $x^2 + x$. Сделаем замену переменной: $t = x^2 + x$.
Уравнение преобразуется к виду:
$\sqrt{t + 4} + \sqrt{t + 1} = \sqrt{2(x^2 + x) + 9} = \sqrt{2t + 9}$
ОДЗ для $t$: $\begin{cases} t + 4 \ge 0 \\ t + 1 \ge 0 \\ 2t + 9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge -4 \\ t \ge -1 \\ t \ge -4.5 \end{cases}$. Отсюда $t \ge -1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{t + 4} + \sqrt{t + 1})^2 = (\sqrt{2t + 9})^2$
$(t + 4) + 2\sqrt{(t+4)(t+1)} + (t + 1) = 2t + 9$
$2t + 5 + 2\sqrt{t^2 + 5t + 4} = 2t + 9$
$2\sqrt{t^2 + 5t + 4} = 4$
$\sqrt{t^2 + 5t + 4} = 2$
Еще раз возведем в квадрат:
$t^2 + 5t + 4 = 4$
$t^2 + 5t = 0$
$t(t + 5) = 0$
Возможные значения $t_1 = 0$, $t_2 = -5$.
Проверим по ОДЗ ($t \ge -1$):
$t_1 = 0$ подходит, так как $0 \ge -1$.
$t_2 = -5$ не подходит, так как $-5 < -1$.
Итак, единственное решение для $t$ это $t = 0$.
Сделаем обратную замену: $x^2 + x = 0$.
$x(x + 1) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Все исходные подкоренные выражения положительны при любых $x$, так как их дискриминанты отрицательны. Поэтому оба найденных значения являются решениями.
Ответ: $x = -1, x = 0$.

г) $\sqrt[4]{629 - x} + \sqrt[4]{77 + x} = 8$
ОДЗ: $\begin{cases} 629 - x \ge 0 \\ 77 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 629 \\ x \ge -77 \end{cases}$, то есть $-77 \le x \le 629$.
Введем замены: $a = \sqrt[4]{629 - x}$ и $b = \sqrt[4]{77 + x}$. По определению корня четной степени, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Исходное уравнение принимает вид: $a + b = 8$.
Возведем наши замены в 4-ю степень и сложим их:
$a^4 = 629 - x$
$b^4 = 77 + x$
$a^4 + b^4 = (629 - x) + (77 + x) = 706$.
Получаем систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 8 \\ a^4 + b^4 = 706 \end{cases}$
Выразим $a^4 + b^4$ через элементарные симметрические многочлены $a+b$ и $ab$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 8^2 - 2ab = 64 - 2ab$.
$a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = (64-2ab)^2 - 2(ab)^2 = 706$.
Пусть $p=ab$. Получаем уравнение для $p$:
$(64 - 2p)^2 - 2p^2 = 706$
$4096 - 256p + 4p^2 - 2p^2 = 706$
$2p^2 - 256p + 3390 = 0$
$p^2 - 128p + 1695 = 0$
Дискриминант $D = (-128)^2 - 4(1)(1695) = 16384 - 6780 = 9604 = 98^2$.
$p_1 = \frac{128 - 98}{2} = 15$
$p_2 = \frac{128 + 98}{2} = 113$
Рассмотрим два случая:
1) $ab = 15$. Система $\begin{cases} a+b=8 \\ ab=15 \end{cases}$ по теореме Виета дает решения $\{a, b\} = \{3, 5\}$.
2) $ab = 113$. Система $\begin{cases} a+b=8 \\ ab=113 \end{cases}$ приводит к квадратному уравнению $z^2-8z+113=0$, у которого дискриминант $D=64-4(113) < 0$, то есть действительных решений нет.
Значит, у нас есть две пары решений для $(a, b)$: $(3, 5)$ и $(5, 3)$.
Вернемся к переменной $x$:
- Если $a=3, b=5$: $\sqrt[4]{629 - x} = 3 \implies 629 - x = 81 \implies x = 548$. Проверка: $\sqrt[4]{77+548} = \sqrt[4]{625}=5$. Верно.
- Если $a=5, b=3$: $\sqrt[4]{629 - x} = 5 \implies 629 - x = 625 \implies x = 4$. Проверка: $\sqrt[4]{77+4} = \sqrt[4]{81}=3$. Верно.
Оба значения $x=548$ и $x=4$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $x = 4, x = 548$.

83 a) $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4};$

б) $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20};$

в) $\sqrt{x^3 - 4x^2 + 20x - 81} = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 6x - 41};$

г) $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 15x - 77} = \sqrt{x^3 - 4x^2 + 2x - 37}.$

а) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны, а одно из них (следовательно, и второе) — неотрицательно.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 5x^2 + 7x - 17 = x^3 - 4x^2 - 3x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (-5x^2 + 4x^2) + (7x + 3x) + (-17 - 4) = 0$

$-x^2 + 10x - 21 = 0$

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 21. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

2. Проверим найденные корни, подставив их в одно из подкоренных выражений, например, $x^3 - 4x^2 - 3x + 4 \ge 0$.

Для $x = 3$:

$3^3 - 4(3^2) - 3(3) + 4 = 27 - 4 \cdot 9 - 9 + 4 = 27 - 36 - 9 + 4 = -14$.

Так как $-14 < 0$, корень $x = 3$ является посторонним.

Для $x = 7$:

$7^3 - 4(7^2) - 3(7) + 4 = 343 - 4 \cdot 49 - 21 + 4 = 343 - 196 - 21 + 4 = 130$.

Так как $130 > 0$, корень $x = 7$ является решением.

Ответ: 7

б) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20}$.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 8x^2 - 7x + 2 = x^3 - 7x^2 - 18x + 20$

$-8x^2 - 7x + 2 = -7x^2 - 18x + 20$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 11$, $x_1 \cdot x_2 = 18$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

2. Проверим корни, подставив их в выражение $x^3 - 7x^2 - 18x + 20 \ge 0$.

Для $x = 2$:

$2^3 - 7(2^2) - 18(2) + 20 = 8 - 7 \cdot 4 - 36 + 20 = 8 - 28 - 36 + 20 = -36$.

Так как $-36 < 0$, корень $x = 2$ является посторонним.

Для $x = 9$:

$9^3 - 7(9^2) - 18(9) + 20 = 729 - 7 \cdot 81 - 162 + 20 = 729 - 567 - 162 + 20 = 20$.

Так как $20 > 0$, корень $x = 9$ является решением.

Ответ: 9

в) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 4x^2 + 20x - 81} = \sqrt{x^3 - 3x^2 + 6x - 41}$.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 4x^2 + 20x - 81 = x^3 - 3x^2 + 6x - 41$

$-4x^2 + 20x - 81 = -3x^2 + 6x - 41$

$x^2 - 14x + 40 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 14$, $x_1 \cdot x_2 = 40$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = 10$.

2. Проверим корни, подставив их в выражение $x^3 - 3x^2 + 6x - 41 \ge 0$.

Для $x = 4$:

$4^3 - 3(4^2) + 6(4) - 41 = 64 - 3 \cdot 16 + 24 - 41 = 64 - 48 + 24 - 41 = -1$.

Так как $-1 < 0$, корень $x = 4$ является посторонним.

Для $x = 10$:

$10^3 - 3(10^2) + 6(10) - 41 = 1000 - 3 \cdot 100 + 60 - 41 = 1000 - 300 + 60 - 41 = 719$.

Так как $719 > 0$, корень $x = 10$ является решением.

Ответ: 10

г) Исходное уравнение $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 15x - 77} = \sqrt{x^3 - 4x^2 + 2x - 37}$.

1. Приравняем подкоренные выражения:

$x^3 - 5x^2 + 15x - 77 = x^3 - 4x^2 + 2x - 37$

$-5x^2 + 15x - 77 = -4x^2 + 2x - 37$

$x^2 - 13x + 40 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 13$, $x_1 \cdot x_2 = 40$. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$.

2. Проверим корни, подставив их в выражение $x^3 - 4x^2 + 2x - 37 \ge 0$.

Для $x = 5$:

$5^3 - 4(5^2) + 2(5) - 37 = 125 - 4 \cdot 25 + 10 - 37 = 125 - 100 + 10 - 37 = -2$.

Так как $-2 < 0$, корень $x = 5$ является посторонним.

Для $x = 8$:

$8^3 - 4(8^2) + 2(8) - 37 = 512 - 4 \cdot 64 + 16 - 37 = 512 - 256 + 16 - 37 = 235$.

Так как $235 > 0$, корень $x = 8$ является решением.

Ответ: 8

84 a) $\sqrt{y-1} = 6-y;$

б) $\sqrt{x+1} = 4-x.$

а) Решим уравнение $ \sqrt{y-1} = 6 - y $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $ y - 1 \ge 0 $, что означает $ y \ge 1 $. Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $ 6 - y \ge 0 $, что означает $ y \le 6 $. Объединив оба условия, получаем ОДЗ: $ y \in [1, 6] $.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала: $ (\sqrt{y-1})^2 = (6 - y)^2 $
$ y - 1 = 36 - 12y + y^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ ay^2+by+c=0 $: $ y^2 - 12y - y + 36 + 1 = 0 $
$ y^2 - 13y + 37 = 0 $

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 169 - 148 = 21 $.

Корни уравнения находятся по формуле: $ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{21}}{2} $. Таким образом, мы имеем два потенциальных решения: $ y_1 = \frac{13 - \sqrt{21}}{2} $ и $ y_2 = \frac{13 + \sqrt{21}}{2} $.

Проверим каждый корень на соответствие ОДЗ ($ y \in [1, 6] $). Для этого оценим значение $ \sqrt{21} $. Поскольку $ 4^2=16 $ и $ 5^2=25 $, то $ 4 < \sqrt{21} < 5 $.

Для корня $ y_1 = \frac{13 - \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{13-5}{2} < y_1 < \frac{13-4}{2} \implies 4 < y_1 < 4.5 $. Это значение принадлежит интервалу $ [1, 6] $, следовательно, $ y_1 $ является решением.

Для корня $ y_2 = \frac{13 + \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{13+4}{2} < y_2 < \frac{13+5}{2} \implies 8.5 < y_2 < 9 $. Это значение не принадлежит интервалу $ [1, 6] $, поэтому $ y_2 $ является посторонним корнем.

Ответ: $ y = \frac{13 - \sqrt{21}}{2} $

б) Решим уравнение $ \sqrt{x+1} = 4 - x $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Условие для подкоренного выражения: $ x + 1 \ge 0 $, откуда $ x \ge -1 $. Условие для правой части уравнения: $ 4 - x \ge 0 $, откуда $ x \le 4 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [-1, 4] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $ (\sqrt{x+1})^2 = (4 - x)^2 $
$ x + 1 = 16 - 8x + x^2 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ ax^2+bx+c=0 $: $ x^2 - 8x - x + 16 - 1 = 0 $
$ x^2 - 9x + 15 = 0 $

Найдем дискриминант этого уравнения: $ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 81 - 60 = 21 $.

Найдем корни по формуле: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{21}}{2} $. Мы получили два корня: $ x_1 = \frac{9 - \sqrt{21}}{2} $ и $ x_2 = \frac{9 + \sqrt{21}}{2} $.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($ x \in [-1, 4] $). Используем оценку $ 4 < \sqrt{21} < 5 $.

Для корня $ x_1 = \frac{9 - \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{9-5}{2} < x_1 < \frac{9-4}{2} \implies 2 < x_1 < 2.5 $. Это значение находится внутри интервала $ [-1, 4] $, поэтому $ x_1 $ является решением.

Для корня $ x_2 = \frac{9 + \sqrt{21}}{2} $: $ \frac{9+4}{2} < x_2 < \frac{9+5}{2} \implies 6.5 < x_2 < 7 $. Это значение не входит в интервал $ [-1, 4] $, следовательно, $ x_2 $ — посторонний корень.

Ответ: $ x = \frac{9 - \sqrt{21}}{2} $

85 а) $\sqrt{2x^2-8x+5}=x-2;$

б) $\sqrt{2x^2-8x+6}=x-2.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x^2 - 8x + 5} = x - 2$.
Такое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность правой части (так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным). $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 8x + 5 = (x - 2)^2 \end{cases} $$ Заметим, что условие неотрицательности подкоренного выражения ($2x^2 - 8x + 5 \ge 0$) будет выполнено автоматически, поскольку оно приравнивается к полному квадрату $(x-2)^2$, который всегда неотрицателен.

1. Решим неравенство, чтобы найти область допустимых значений для $x$:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Таким образом, корень уравнения должен быть не меньше 2.

2. Решим уравнение: $2x^2 - 8x + 5 = (x - 2)^2$
$2x^2 - 8x + 5 = x^2 - 4x + 4$
Приведем подобные члены, перенеся все в левую часть: $(2x^2 - x^2) + (-8x + 4x) + (5 - 4) = 0$
$x^2 - 4x + 1 = 0$

3. Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
$\sqrt{D} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$
$x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$:
Корень $x_1 = 2 - \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $x_1 \approx 2 - 1.732 = 0.268$. Это значение меньше 2, поэтому $x_1$ является посторонним корнем.
Корень $x_2 = 2 + \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $2 + \sqrt{3} > 2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

б)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x^2 - 8x + 6} = x - 2$.
Аналогично предыдущему пункту, перейдем к равносильной системе: $$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2x^2 - 8x + 6 = (x - 2)^2 \end{cases} $$

1. Из неравенства $x - 2 \ge 0$ следует, что $x \ge 2$. Это условие, которому должны удовлетворять корни.

2. Решим уравнение: $2x^2 - 8x + 6 = (x - 2)^2$
$2x^2 - 8x + 6 = x^2 - 4x + 4$
Приведем подобные члены: $(2x^2 - x^2) + (-8x + 4x) + (6 - 4) = 0$
$x^2 - 4x + 2 = 0$

3. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$
$\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$
$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$
$x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$

4. Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 2$:
Корень $x_1 = 2 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $x_1 \approx 2 - 1.414 = 0.586$. Это значение меньше 2, поэтому $x_1$ является посторонним корнем.
Корень $x_2 = 2 + \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $2 + \sqrt{2} > 2$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $2 + \sqrt{2}$.

86 a) $5\sqrt{x-2} + 3\sqrt{x+1} + 2x = 17;$

б) $\sqrt{3x-2} + 2\sqrt{x-1} + 5x = 14.$

а) $5\sqrt{x-2} + 3\sqrt{x+1} + 2x = 17$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$, то есть $x \in [2, +\infty)$.

2. Проанализируем функцию в левой части уравнения.
Пусть $f(x) = 5\sqrt{x-2} + 3\sqrt{x+1} + 2x$.
Функции $y_1 = 5\sqrt{x-2}$, $y_2 = 3\sqrt{x+1}$ и $y_3 = 2x$ являются возрастающими на всей области определения. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения $[2, +\infty)$.

Это означает, что уравнение $f(x) = 17$ может иметь не более одного корня.

3. Найдем корень подбором.
Попробуем подставить целые значения $x$ из ОДЗ. Начнем с $x=3$, чтобы под корнями получились целые числа.
При $x=3$:
$5\sqrt{3-2} + 3\sqrt{3+1} + 2 \cdot 3 = 5\sqrt{1} + 3\sqrt{4} + 6 = 5 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 6 = 5 + 6 + 6 = 17$.
Получили верное равенство: $17 = 17$.

Таким образом, $x=3$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, то это и есть единственное решение.

Ответ: $x=3$

б) $\sqrt{3x-2} + 2\sqrt{x-1} + 5x = 14$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$3x-2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$, то есть $x \in [1, +\infty)$.

2. Проанализируем функцию в левой части уравнения.
Пусть $g(x) = \sqrt{3x-2} + 2\sqrt{x-1} + 5x$.
Функции $y_1 = \sqrt{3x-2}$, $y_2 = 2\sqrt{x-1}$ и $y_3 = 5x$ являются возрастающими на области определения $x \ge 1$. Сумма возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на своей области определения $[1, +\infty)$.

Это означает, что уравнение $g(x) = 14$ может иметь не более одного корня.

3. Найдем корень подбором.
Попробуем подставить целые значения $x$ из ОДЗ. Проверим $x=2$, чтобы под вторым корнем получилось целое число.
При $x=2$:
$\sqrt{3 \cdot 2 - 2} + 2\sqrt{2-1} + 5 \cdot 2 = \sqrt{6-2} + 2\sqrt{1} + 10 = \sqrt{4} + 2 \cdot 1 + 10 = 2 + 2 + 10 = 14$.
Получили верное равенство: $14 = 14$.

Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, то это и есть единственное решение.

Ответ: $x=2$

87 a) $\sqrt{3x - 15} - \sqrt{20 - 4x} + 7x = 35;$

б) $\sqrt{3x + 6} - \sqrt{-10 - 5x} - 0,5x = 1;$

В) $\sqrt{2x - 12} + \sqrt{30 - 5x} + 1,5x = 10.$

a) Решим уравнение $\sqrt{3x-15} - \sqrt{20-4x} + 7x = 35$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 15 \ge 0 \\ 20 - 4x \ge 0 \end{array} \right.$
Решим систему неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} 3x \ge 15 \\ 20 \ge 4x \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 5 \\ 5 \ge x \end{array} \right.$
Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=5$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки $x=5$.
Проверим, является ли $x=5$ корнем исходного уравнения, подставив это значение в него:
$\sqrt{3(5)-15} - \sqrt{20-4(5)} + 7(5) = 35$
$\sqrt{15-15} - \sqrt{20-20} + 35 = 35$
$\sqrt{0} - \sqrt{0} + 35 = 35$
$0 - 0 + 35 = 35$
$35 = 35$
Равенство верное, следовательно, $x=5$ является решением уравнения.
Ответ: 5.

б) Решим уравнение $\sqrt{3x+6} - \sqrt{-10-5x} - 0,5x = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{ \begin{array}{l} 3x + 6 \ge 0 \\ -10 - 5x \ge 0 \end{array} \right.$
Решим систему неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} 3x \ge -6 \\ -10 \ge 5x \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} x \ge -2 \\ -2 \ge x \end{array} \right.$
Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=-2$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки $x=-2$.
Проверим, является ли $x=-2$ корнем исходного уравнения, подставив это значение в него:
$\sqrt{3(-2)+6} - \sqrt{-10-5(-2)} - 0,5(-2) = 1$
$\sqrt{-6+6} - \sqrt{-10+10} - (-1) = 1$
$\sqrt{0} - \sqrt{0} + 1 = 1$
$1 = 1$
Равенство верное, следовательно, $x=-2$ является решением уравнения.
Ответ: -2.

в) Решим уравнение $\sqrt{2x-12} + \sqrt{30-5x} + 1,5x = 10$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{ \begin{array}{l} 2x - 12 \ge 0 \\ 30 - 5x \ge 0 \end{array} \right.$
Решим систему неравенств:
$\left\{ \begin{array}{l} 2x \ge 12 \\ 30 \ge 5x \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 6 \\ 6 \ge x \end{array} \right.$
Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=6$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки $x=6$.
Проверим, является ли $x=6$ корнем исходного уравнения, подставив это значение в него:
$\sqrt{2(6)-12} + \sqrt{30-5(6)} + 1,5(6) = 10$
$\sqrt{12-12} + \sqrt{30-30} + 9 = 10$
$\sqrt{0} + \sqrt{0} + 9 = 10$
$0 + 0 + 9 = 10$
$9 = 10$
Получили неверное равенство. Следовательно, $x=6$ не является корнем уравнения. Так как других допустимых значений $x$ нет, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

88 a) $\sqrt[3]{297-3x}+\sqrt{x-18}=9;$

б) $\sqrt[3]{200+2x}+\sqrt{300-x}=20;$

в) $\sqrt[3]{6+x}+\sqrt{35-x}=6;$

г) $\sqrt[3]{192+4x}+\sqrt{-32-x}=4.$

а) $\sqrt[3]{297 - 3x} + \sqrt{x - 18} = 9$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 18 \ge 0 \implies x \ge 18$.

Для решения данного уравнения удобно использовать метод введения новых переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{297 - 3x}$ и $v = \sqrt{x - 18}$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $u + v = 9$. При этом, так как $v$ представляет собой арифметический квадратный корень, $v \ge 0$.

Теперь установим связь между переменными $u$ и $v$, исключив $x$. Из определений переменных имеем: $u^3 = 297 - 3x$ $v^2 = x - 18$ Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными: $3v^2 = 3x - 54$.

Теперь сложим уравнения для $u^3$ и $3v^2$: $u^3 + 3v^2 = (297 - 3x) + (3x - 54) = 297 - 54 = 243$.

В результате мы получили систему уравнений относительно $u$ и $v$: $\begin{cases} u + v = 9 \\ u^3 + 3v^2 = 243 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим $v$: $v = 9 - u$. Подставим это выражение во второе уравнение: $u^3 + 3(9 - u)^2 = 243$ $u^3 + 3(81 - 18u + u^2) = 243$ $u^3 + 243 - 54u + 3u^2 = 243$ $u^3 + 3u^2 - 54u = 0$

Вынесем общий множитель $u$ за скобки: $u(u^2 + 3u - 54) = 0$ Это уравнение распадается на два: 1) $u = 0$ 2) $u^2 + 3u - 54 = 0$

Рассмотрим каждый случай. Случай 1: $u = 0$. Тогда $\sqrt[3]{297 - 3x} = 0 \implies 297 - 3x = 0 \implies 3x = 297 \implies x = 99$. Проверим этот корень. Если $u=0$, то $v = 9 - 0 = 9$. С другой стороны, $v = \sqrt{x - 18} = \sqrt{99 - 18} = \sqrt{81} = 9$. Значения сходятся. Корень $x=99$ удовлетворяет ОДЗ ($99 \ge 18$).

Случай 2: $u^2 + 3u - 54 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле: $D = 3^2 - 4(1)(-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$. $u_{1,2} = \frac{-3 \pm 15}{2}$. $u_1 = \frac{-3 + 15}{2} = 6$. $u_2 = \frac{-3 - 15}{2} = -9$.

Подслучай 2.1: $u = 6$. Тогда $\sqrt[3]{297 - 3x} = 6 \implies 297 - 3x = 6^3 = 216$. $3x = 297 - 216 = 81 \implies x = 27$. Проверим этот корень. Если $u=6$, то $v = 9 - 6 = 3$. С другой стороны, $v = \sqrt{x - 18} = \sqrt{27 - 18} = \sqrt{9} = 3$. Значения сходятся. Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 \ge 18$).

Подслучай 2.2: $u = -9$. Тогда $\sqrt[3]{297 - 3x} = -9 \implies 297 - 3x = (-9)^3 = -729$. $3x = 297 + 729 = 1026 \implies x = 342$. Проверим этот корень. Если $u=-9$, то $v = 9 - (-9) = 18$. С другой стороны, $v = \sqrt{x - 18} = \sqrt{342 - 18} = \sqrt{324} = 18$. Значения сходятся. Корень $x=342$ удовлетворяет ОДЗ ($342 \ge 18$).

Все три найденных значения являются решениями уравнения. Ответ: $x=27, x=99, x=342$.

б) $\sqrt[3]{200 + 2x} + \sqrt{300 - x} = 20$

ОДЗ: $300 - x \ge 0 \implies x \le 300$.

Введем замену переменных: $u = \sqrt[3]{200 + 2x}$ $v = \sqrt{300 - x}$ ($v \ge 0$) Уравнение принимает вид $u + v = 20$.

Найдем связь между $u$ и $v$: $u^3 = 200 + 2x$ $v^2 = 300 - x \implies 2v^2 = 600 - 2x$. Сложим эти два уравнения: $u^3 + 2v^2 = (200 + 2x) + (600 - 2x) = 800$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} u + v = 20 \\ u^3 + 2v^2 = 800 \end{cases}$

Из первого уравнения $v = 20 - u$. Подставляем во второе: $u^3 + 2(20 - u)^2 = 800$ $u^3 + 2(400 - 40u + u^2) = 800$ $u^3 + 800 - 80u + 2u^2 = 800$ $u^3 + 2u^2 - 80u = 0$ $u(u^2 + 2u - 80) = 0$

Рассматриваем случаи: Случай 1: $u = 0$. $\sqrt[3]{200 + 2x} = 0 \implies 200 + 2x = 0 \implies 2x = -200 \implies x = -100$. Проверка: $v = 20 - u = 20$. $v = \sqrt{300 - (-100)} = \sqrt{400} = 20$. Верно. $x=-100$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $u^2 + 2u - 80 = 0$. $D = 2^2 - 4(1)(-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$. $u_{1,2} = \frac{-2 \pm 18}{2}$. $u_1 = \frac{16}{2} = 8$. $u_2 = \frac{-20}{2} = -10$.

Подслучай 2.1: $u = 8$. $\sqrt[3]{200 + 2x} = 8 \implies 200 + 2x = 512 \implies 2x = 312 \implies x = 156$. Проверка: $v = 20 - 8 = 12$. $v = \sqrt{300 - 156} = \sqrt{144} = 12$. Верно. $x=156$ удовлетворяет ОДЗ.

Подслучай 2.2: $u = -10$. $\sqrt[3]{200 + 2x} = -10 \implies 200 + 2x = -1000 \implies 2x = -1200 \implies x = -600$. Проверка: $v = 20 - (-10) = 30$. $v = \sqrt{300 - (-600)} = \sqrt{900} = 30$. Верно. $x=-600$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-600, x=-100, x=156$.

в) $\sqrt[3]{6 + x} + \sqrt{35 - x} = 6$

ОДЗ: $35 - x \ge 0 \implies x \le 35$.

Введем замену переменных: $u = \sqrt[3]{6 + x}$ $v = \sqrt{35 - x}$ ($v \ge 0$) Уравнение принимает вид $u + v = 6$.

Найдем связь между $u$ и $v$: $u^3 = 6 + x$ $v^2 = 35 - x$ Сложим эти два уравнения: $u^3 + v^2 = (6 + x) + (35 - x) = 41$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} u + v = 6 \\ u^3 + v^2 = 41 \end{cases}$

Из первого уравнения $v = 6 - u$. Подставляем во второе: $u^3 + (6 - u)^2 = 41$ $u^3 + 36 - 12u + u^2 = 41$ $u^3 + u^2 - 12u - 5 = 0$

Мы получили кубическое уравнение относительно $u$. Попробуем найти его рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $\frac{p}{q}$, то $p$ является делителем свободного члена ($-5$), а $q$ — делителем старшего коэффициента (1). Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 5$.

Проверим их, подставляя в уравнение $P(u) = u^3 + u^2 - 12u - 5 = 0$: $P(1) = 1^3 + 1^2 - 12(1) - 5 = 1+1-12-5 = -15 \ne 0$ $P(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 12(-1) - 5 = -1+1+12-5 = 7 \ne 0$ $P(5) = 5^3 + 5^2 - 12(5) - 5 = 125+25-60-5 = 85 \ne 0$ $P(-5) = (-5)^3 + (-5)^2 - 12(-5) - 5 = -125+25+60-5 = -45 \ne 0$

Ни один из кандидатов не является корнем, следовательно, у данного кубического уравнения нет рациональных корней. Это означает, что исходное уравнение также не имеет рациональных решений (и, как следствие, целых). Анализ функции $P(u)$ показывает, что уравнение имеет три действительных корня. Каждый из этих корней $u$ дает соответствующий корень $x = u^3 - 6$. Заметим, что для существования $v = \sqrt{35-x}$ необходимо, чтобы $v = 6 - u \ge 0$, то есть $u \le 6$. Все три действительных корня уравнения $P(u)=0$ удовлетворяют этому условию. В стандартных задачниках такие уравнения обычно имеют "хорошие" решения, что указывает на возможную опечатку в условии задачи. Если решать задачу в точности как она дана, то ее решения являются иррациональными числами, которые не выражаются в простых радикалах.

Ответ: Уравнение не имеет рациональных корней. Три действительных корня уравнения могут быть найдены численными методами.

г) $\sqrt[3]{192 + 4x} + \sqrt{-32 - x} = 4$

ОДЗ: $-32 - x \ge 0 \implies -x \ge 32 \implies x \le -32$.

Введем замену переменных: $u = \sqrt[3]{192 + 4x}$ $v = \sqrt{-32 - x}$ ($v \ge 0$) Уравнение принимает вид $u + v = 4$.

Найдем связь между $u$ и $v$: $u^3 = 192 + 4x$ $v^2 = -32 - x \implies 4v^2 = -128 - 4x$. Сложим эти два уравнения: $u^3 + 4v^2 = (192 + 4x) + (-128 - 4x) = 64$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} u + v = 4 \\ u^3 + 4v^2 = 64 \end{cases}$

Из первого уравнения $v = 4 - u$. Подставляем во второе: $u^3 + 4(4 - u)^2 = 64$ $u^3 + 4(16 - 8u + u^2) = 64$ $u^3 + 64 - 32u + 4u^2 = 64$ $u^3 + 4u^2 - 32u = 0$ $u(u^2 + 4u - 32) = 0$

Рассматриваем случаи: Случай 1: $u = 0$. $\sqrt[3]{192 + 4x} = 0 \implies 192 + 4x = 0 \implies 4x = -192 \implies x = -48$. Проверка: $v = 4 - u = 4$. $v = \sqrt{-32 - (-48)} = \sqrt{16} = 4$. Верно. $x=-48$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $u^2 + 4u - 32 = 0$. Можно решить по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $u_1 = 4, u_2 = -8$. $(u - 4)(u + 8) = 0$.

Подслучай 2.1: $u = 4$. $\sqrt[3]{192 + 4x} = 4 \implies 192 + 4x = 64 \implies 4x = -128 \implies x = -32$. Проверка: $v = 4 - 4 = 0$. $v = \sqrt{-32 - (-32)} = \sqrt{0} = 0$. Верно. $x=-32$ удовлетворяет ОДЗ.

Подслучай 2.2: $u = -8$. $\sqrt[3]{192 + 4x} = -8 \implies 192 + 4x = -512 \implies 4x = -704 \implies x = -176$. Проверка: $v = 4 - (-8) = 12$. $v = \sqrt{-32 - (-176)} = \sqrt{144} = 12$. Верно. $x=-176$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-176, x=-48, x=-32$.

89 a) $\sqrt[3]{3x+20} + \sqrt[3]{5x+4} = \sqrt[3]{2x+19} + \sqrt[3]{6x+5};$

б) $\sqrt[3]{x+6} + \sqrt[3]{7x+10} = \sqrt[3]{2x+15} + \sqrt[3]{6x+1};$

в) $\sqrt[3]{2x+5} + \sqrt[3]{5x+16} = \sqrt[3]{x+8} + \sqrt[3]{6x+13};$

г) $\sqrt[3]{4x+6} + \sqrt[3]{5x+12} = \sqrt[3]{3x+10} + \sqrt[3]{6x+8}.$

Все уравнения в данной задаче имеют вид $ \sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C} + \sqrt[3]{D} $. Общий метод решения таких уравнений заключается в перегруппировке слагаемых таким образом, чтобы получить уравнение вида $ \sqrt[3]{A'} - \sqrt[3]{B'} = \sqrt[3]{C'} - \sqrt[3]{D'} $, где разности подкоренных выражений оказываются равными: $ A' - B' = C' - D' = k(x) $.
Далее рассматривается функция $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $. Уравнение принимает вид $ f(y_1) = f(y_2) $. Решения находятся в двух случаях:
1. Когда $ k(x) = 0 $, обе части уравнения обращаются в ноль, что дает первый корень.
2. Когда $ k(x) \neq 0 $, равенство $ f(y_1) = f(y_2) $ в задачах такого типа, как правило, означает, что $ y_1 = y_2 $, что дает второй корень.

а)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{3x+20} + \sqrt[3]{5x+4} = \sqrt[3]{2x+19} + \sqrt[3]{6x+5} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{3x+20} - \sqrt[3]{2x+19} = \sqrt[3]{6x+5} - \sqrt[3]{5x+4} $.

Разность подкоренных выражений в левой части: $ (3x+20) - (2x+19) = x+1 $.

Разность подкоренных выражений в правой части: $ (6x+5) - (5x+4) = x+1 $.

Пусть $ k = x+1 $. Уравнение можно представить в виде $ f(2x+19) = f(5x+4) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = x+1 = 0 $, откуда $ x = -1 $.

При $ k=0 $ уравнение становится тождеством $ 0 = 0 $, следовательно, $ x = -1 $ является корнем.

Проверка: При $ x = -1 $ левая часть равна $ \sqrt[3]{3(-1)+20} + \sqrt[3]{5(-1)+4} = \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{17} - 1 $. Правая часть равна $ \sqrt[3]{2(-1)+19} + \sqrt[3]{6(-1)+5} = \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{17} - 1 $. Равенство верно.

2. $ k = x+1 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы, на которых основаны выражения:

$ 2x+19 = 5x+4 $

$ 3x = 15 $

$ x = 5 $

При $ x=5 $, $ k = 5+1 = 6 \neq 0 $, что удовлетворяет условию данного случая.

Проверка: При $ x = 5 $ левая часть равна $ \sqrt[3]{3(5)+20} + \sqrt[3]{5(5)+4} = \sqrt[3]{35} + \sqrt[3]{29} $. Правая часть равна $ \sqrt[3]{2(5)+19} + \sqrt[3]{6(5)+5} = \sqrt[3]{29} + \sqrt[3]{35} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -1; 5 $.

б)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{x+6} + \sqrt[3]{7x+10} = \sqrt[3]{2x+15} + \sqrt[3]{6x+1} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{7x+10} - \sqrt[3]{6x+1} = \sqrt[3]{2x+15} - \sqrt[3]{x+6} $.

Разность подкоренных выражений слева: $ (7x+10) - (6x+1) = x+9 $.

Разность подкоренных выражений справа: $ (2x+15) - (x+6) = x+9 $.

Пусть $ k = x+9 $. Уравнение можно записать как $ f(6x+1) = f(x+6) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = x+9 = 0 $, откуда $ x = -9 $.

Это значение является корнем уравнения.

Проверка: При $ x = -9 $ левая часть: $ \sqrt[3]{-9+6} + \sqrt[3]{7(-9)+10} = \sqrt[3]{-3} + \sqrt[3]{-53} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{2(-9)+15} + \sqrt[3]{6(-9)+1} = \sqrt[3]{-3} + \sqrt[3]{-53} $. Равенство верно.

2. $ k = x+9 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы:

$ 6x+1 = x+6 $

$ 5x = 5 $

$ x = 1 $

При $ x=1 $, $ k = 1+9 = 10 \neq 0 $.

Проверка: При $ x = 1 $ левая часть: $ \sqrt[3]{1+6} + \sqrt[3]{7(1)+10} = \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{17} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{2(1)+15} + \sqrt[3]{6(1)+1} = \sqrt[3]{17} + \sqrt[3]{7} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -9; 1 $.

в)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{2x+5} + \sqrt[3]{5x+16} = \sqrt[3]{x+8} + \sqrt[3]{6x+13} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{5x+16} - \sqrt[3]{x+8} = \sqrt[3]{6x+13} - \sqrt[3]{2x+5} $.

Разность подкоренных выражений слева: $ (5x+16) - (x+8) = 4x+8 $.

Разность подкоренных выражений справа: $ (6x+13) - (2x+5) = 4x+8 $.

Пусть $ k = 4x+8 $. Уравнение можно записать как $ f(x+8) = f(2x+5) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = 4x+8 = 0 $, откуда $ 4x = -8 \implies x = -2 $.

Это значение является корнем уравнения.

Проверка: При $ x = -2 $ левая часть: $ \sqrt[3]{2(-2)+5} + \sqrt[3]{5(-2)+16} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{6} = 1 + \sqrt[3]{6} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{-2+8} + \sqrt[3]{6(-2)+13} = \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{6} + 1 $. Равенство верно.

2. $ k = 4x+8 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы:

$ x+8 = 2x+5 $

$ x = 3 $

При $ x=3 $, $ k = 4(3)+8 = 20 \neq 0 $.

Проверка: При $ x = 3 $ левая часть: $ \sqrt[3]{2(3)+5} + \sqrt[3]{5(3)+16} = \sqrt[3]{11} + \sqrt[3]{31} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{3+8} + \sqrt[3]{6(3)+13} = \sqrt[3]{11} + \sqrt[3]{31} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -2; 3 $.

г)

Дано уравнение: $ \sqrt[3]{4x+6} + \sqrt[3]{5x+12} = \sqrt[3]{3x+10} + \sqrt[3]{6x+8} $.

Перегруппируем слагаемые:

$ \sqrt[3]{4x+6} - \sqrt[3]{3x+10} = \sqrt[3]{6x+8} - \sqrt[3]{5x+12} $.

Разность подкоренных выражений слева: $ (4x+6) - (3x+10) = x-4 $.

Разность подкоренных выражений справа: $ (6x+8) - (5x+12) = x-4 $.

Пусть $ k = x-4 $. Уравнение можно записать как $ f(3x+10) = f(5x+12) $, где $ f(y) = \sqrt[3]{y+k} - \sqrt[3]{y} $.

Рассмотрим два случая:

1. $ k = x-4 = 0 $, откуда $ x = 4 $.

Это значение является корнем уравнения.

Проверка: При $ x = 4 $ левая часть: $ \sqrt[3]{4(4)+6} + \sqrt[3]{5(4)+12} = \sqrt[3]{22} + \sqrt[3]{32} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{3(4)+10} + \sqrt[3]{6(4)+8} = \sqrt[3]{22} + \sqrt[3]{32} $. Равенство верно.

2. $ k = x-4 \neq 0 $.

Приравниваем аргументы:

$ 3x+10 = 5x+12 $

$ 2x = -2 $

$ x = -1 $

При $ x=-1 $, $ k = -1-4 = -5 \neq 0 $.

Проверка: При $ x = -1 $ левая часть: $ \sqrt[3]{4(-1)+6} + \sqrt[3]{5(-1)+12} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{7} $. Правая часть: $ \sqrt[3]{3(-1)+10} + \sqrt[3]{6(-1)+8} = \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2} $. Равенство верно.

Ответ: $ x = -1; 4 $.

90 a) $ \sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5} = \sqrt[3]{30-x} $;

б) $ \sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{2x+4} = \sqrt[3]{31-2x} $.

а)

Дано иррациональное уравнение:

$\sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5} = \sqrt[3]{30-x}$

Для решения возведем обе части уравнения в куб, используя формулу суммы кубов $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{x-2}$ и $b = \sqrt[3]{x+5}$. Тогда, согласно исходному уравнению, $a+b = \sqrt[3]{30-x}$.

Возводим в куб:

$(\sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5})^3 = (\sqrt[3]{30-x})^3$

$(x-2) + (x+5) + 3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)}(\sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5}) = 30-x$

Заменим сумму корней в скобках на правую часть исходного уравнения:

$2x+3 + 3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)}\sqrt[3]{30-x} = 30-x$

Объединим корни и уединим радикал в одной части уравнения:

$3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)(30-x)} = 30-x - (2x+3)$

$3\sqrt[3]{(x-2)(x+5)(30-x)} = 27-3x$

Разделим обе части на 3:

$\sqrt[3]{(x-2)(x+5)(30-x)} = 9-x$

Чтобы избавиться от оставшегося кубического корня, снова возведем обе части в куб:

$(x-2)(x+5)(30-x) = (9-x)^3$

Раскроем скобки. Слева:

$(x^2+3x-10)(30-x) = 30x^2 - x^3 + 90x - 3x^2 - 300 + 10x = -x^3 + 27x^2 + 100x - 300$

Справа:

$(9-x)^3 = 9^3 - 3 \cdot 9^2 \cdot x + 3 \cdot 9 \cdot x^2 - x^3 = 729 - 243x + 27x^2 - x^3$

Приравняем полученные выражения:

$-x^3 + 27x^2 + 100x - 300 = -x^3 + 27x^2 - 243x + 729$

Сократим одинаковые члены $(-x^3$ и $27x^2$) в обеих частях:

$100x - 300 = -243x + 729$

Решим полученное линейное уравнение:

$100x + 243x = 729 + 300$

$343x = 1029$

$x = \frac{1029}{343} = 3$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{3-2} + \sqrt[3]{3+5} = \sqrt[3]{30-3}$

$\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{27}$

$1 + 2 = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, значит, корень найден правильно. Можно также доказать, что этот корень единственный, проанализировав монотонность функции $f(x) = \sqrt[3]{x-2} + \sqrt[3]{x+5} - \sqrt[3]{30-x}$. Ее производная $f'(x)$ всегда положительна, следовательно, функция строго возрастает и может иметь не более одного корня.

Ответ: 3.

б)

Дано иррациональное уравнение:

$\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{2x+4} = \sqrt[3]{31-2x}$

Для уравнений такого типа бывает эффективно найти один корень методом подбора, а затем доказать его единственность.

Попробуем подставить целые значения $x$, которые дают под корнями числа, являющиеся точными кубами.

Проверим значение $x=2$:

Левая часть: $\sqrt[3]{2-1} + \sqrt[3]{2 \cdot 2+4} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3$.

Правая часть: $\sqrt[3]{31-2 \cdot 2} = \sqrt[3]{31-4} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Так как $3=3$, значение $x=2$ является корнем данного уравнения.

Докажем, что этот корень является единственным. Для этого рассмотрим функцию:

$f(x) = \sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{2x+4} - \sqrt[3]{31-2x}$

Найдем ее производную, чтобы исследовать функцию на монотонность:

$f'(x) = (\sqrt[3]{x-1})' + (\sqrt[3]{2x+4})' - (\sqrt[3]{31-2x})'$

$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{(2x+4)'}{3\sqrt[3]{(2x+4)^2}} - \frac{(31-2x)'}{3\sqrt[3]{(31-2x)^2}}$

$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+4)^2}} - \frac{-2}{3\sqrt[3]{(31-2x)^2}}$

$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+4)^2}} + \frac{2}{3\sqrt[3]{(31-2x)^2}}$

Каждое слагаемое в выражении для производной является положительным для всех $x$ из области определения производной, так как знаменатели содержат квадраты выражений. Следовательно, $f'(x) > 0$.

Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Таким образом, уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного решения.

Поскольку мы уже нашли корень $x=2$, он и является единственным решением.

Ответ: 2.

91 a) $\sqrt{5 - x^2} = 1 - x;$

б) $\sqrt{x + 2} + \sqrt{8 - x} = \sqrt{15};$

В) $\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2}.$

a) $\sqrt{5 - x^2} = 1 - x$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню.

$\begin{cases} 5 - x^2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 \le 5 \\ x \le 1 \end{cases}$

$\begin{cases} -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5} \\ x \le 1 \end{cases}$

Пересекая эти два условия, получаем ОДЗ: $x \in [-\sqrt{5}, 1]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{5 - x^2})^2 = (1 - x)^2$

$5 - x^2 = 1 - 2x + x^2$

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

5. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-\sqrt{5}, 1]$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \le 1$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-\sqrt{5} \approx -2.24$, и $-2.24 \le -1 \le 1$.

6. Выполним проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 - (-1)^2} = 1 - (-1)$

$\sqrt{5 - 1} = 1 + 1$

$\sqrt{4} = 2$

$2 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $x = -1$.

б) $\sqrt{x+2} + \sqrt{8-x} = \sqrt{15}$

Решение:

1. Найдем ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 8 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [-2, 8]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{8-x})^2 = (\sqrt{15})^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(8-x)} + (8-x) = 15$

3. Упростим уравнение:

$10 + 2\sqrt{8x - x^2 + 16 - 2x} = 15$

$10 + 2\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = 15$

4. Изолируем оставшийся радикал:

$2\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = 5$

$\sqrt{-x^2 + 6x + 16} = \frac{5}{2}$

5. Снова возведем обе части в квадрат:

$-x^2 + 6x + 16 = (\frac{5}{2})^2$

$-x^2 + 6x + 16 = \frac{25}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$-4x^2 + 24x + 64 = 25$

6. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - 24x - 39 = 0$

7. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(4)(-39)}}{2(4)}$

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 624}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{1200}}{8}$

Упростим корень: $\sqrt{1200} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}$.

$x = \frac{24 \pm 20\sqrt{3}}{8} = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{6 + 5\sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{2}$.

8. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \in [-2, 8]$).

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $5\sqrt{3} \approx 8.66$.

$x_1 = \frac{6 + 8.66}{2} = \frac{14.66}{2} = 7.33$. Этот корень принадлежит ОДЗ $[-2, 8]$.

$x_2 = \frac{6 - 8.66}{2} = \frac{-2.66}{2} = -1.33$. Этот корень также принадлежит ОДЗ $[-2, 8]$.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $x = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{2}$.

в) $\sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} = 3 + \sqrt{2x - x^2}$

Решение:

1. Найдем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} 4x - x^2 \ge 0 \\ 4x - x^2 - 3 \ge 0 \\ 2x - x^2 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x(4-x) \ge 0 \\ -(x^2 - 4x + 3) \ge 0 \\ x(2-x) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ (x-1)(x-3) \le 0 \\ 0 \le x \le 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in [0, 4] \\ x \in [1, 3] \\ x \in [0, 2] \end{cases}$

Пересечением этих трех промежутков является отрезок $[1, 2]$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, 2]$.

2. Проверим граничные точки ОДЗ. Подставим $x=2$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{4(2) - 2^2} + \sqrt{4(2) - 2^2 - 3} = \sqrt{8 - 4} + \sqrt{8 - 4 - 3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$.

Правая часть: $3 + \sqrt{2(2) - 2^2} = 3 + \sqrt{4 - 4} = 3 + 0 = 3$.

Поскольку левая часть равна правой, $x=2$ является корнем уравнения.

3. Исследуем уравнение на наличие других корней в интервале $[1, 2]$. Перепишем уравнение в виде $f(x) = 3$, где

$f(x) = \sqrt{4x - x^2} + \sqrt{4x - x^2 - 3} - \sqrt{2x - x^2}$

Проанализируем монотонность функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$.

Рассмотрим каждую функцию-слагаемое:

• Функция $y_1(x) = \sqrt{4x - x^2} = \sqrt{4 - (x-2)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $4 - (x-2)^2$ возрастает (от 3 до 4), значит, и $y_1(x)$ возрастает.
• Функция $y_2(x) = \sqrt{4x - x^2 - 3} = \sqrt{1 - (x-2)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $1 - (x-2)^2$ возрастает (от 0 до 1), значит, и $y_2(x)$ возрастает.
• Функция $y_3(x) = \sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x-1)^2}$. На отрезке $[1, 2]$ подкоренное выражение $1 - (x-1)^2$ убывает (от 1 до 0), значит, $y_3(x)$ убывает.

Функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($y_1(x)$ и $y_2(x)$) и еще одной возрастающей функции ($-y_3(x)$), так как $y_3(x)$ убывает. Следовательно, $f(x)$ является строго возрастающей функцией на отрезке $[1, 2]$.

4. Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Поскольку мы нашли, что $f(2) = 3$, то $x=2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.