Номер 81, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 81, страница 418.

Условие.

81 a) $x^2 - 13x + 30 = (\sqrt{3x - 18})^2;$

б) $x^2 - 9x + 13 = (\sqrt{5x - 35})^2;$

в) $x^2 - 8x + 10 = (\sqrt{7x - 40})^2;$

г) $x^2 - 15x + 55 = (\sqrt{x - 8})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $x^2 - 13x + 30 = (\sqrt{3x-18})^2$

Данное уравнение определено при условии, что подкоренное выражение неотрицательно. Это задает область допустимых значений (ОДЗ). Также, по определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$.

Запишем уравнение в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 13x + 30 = 3x - 18 \\ 3x - 18 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы найти ОДЗ:

$3x - 18 \ge 0$

$3x \ge 18$

$x \ge 6$

Теперь решим уравнение:

$x^2 - 13x + 30 = 3x - 18$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 13x - 3x + 30 + 18 = 0$

$x^2 - 16x + 48 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 16$

$x_1 \cdot x_2 = 48$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 12$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ $x \ge 6$.

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 6$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 12$ удовлетворяет условию $12 \ge 6$, следовательно, это действительный корень уравнения.

Ответ: $12$.

б) $x^2 - 9x + 13 = (\sqrt{5x-35})^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 9x + 13 = 5x - 35 \\ 5x - 35 \ge 0 \end{cases}$

Найдем ОДЗ из неравенства:

$5x - 35 \ge 0$

$5x \ge 35$

$x \ge 7$

Решим уравнение:

$x^2 - 9x + 13 = 5x - 35$

$x^2 - 9x - 5x + 13 + 35 = 0$

$x^2 - 14x + 48 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 14$

$x_1 \cdot x_2 = 48$

Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \ge 7$.

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \ge 7$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 7$, значит, это корень исходного уравнения.

Ответ: $8$.

в) $x^2 - 8x + 10 = (\sqrt{7x-40})^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 10 = 7x - 40 \\ 7x - 40 \ge 0 \end{cases}$

Найдем ОДЗ из неравенства:

$7x - 40 \ge 0$

$7x \ge 40$

$x \ge \frac{40}{7}$

Решим уравнение:

$x^2 - 8x + 10 = 7x - 40$

$x^2 - 8x - 7x + 10 + 40 = 0$

$x^2 - 15x + 50 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 15$

$x_1 \cdot x_2 = 50$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 10$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \ge \frac{40}{7} \approx 5.71$.

Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $5 \ge \frac{40}{7}$, так как $5 = \frac{35}{7}$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $10 \ge \frac{40}{7}$, так как $10 = \frac{70}{7}$. Это корень исходного уравнения.

Ответ: $10$.

г) $x^2 - 15x + 55 = (\sqrt{x-8})^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 15x + 55 = x - 8 \\ x - 8 \ge 0 \end{cases}$

Найдем ОДЗ из неравенства:

$x - 8 \ge 0$

$x \ge 8$

Решим уравнение:

$x^2 - 15x + 55 = x - 8$

$x^2 - 15x - x + 55 + 8 = 0$

$x^2 - 16x + 63 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 16$

$x_1 \cdot x_2 = 63$

Корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \ge 8$.

Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $7 \ge 8$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 8$, значит, это корень исходного уравнения.

Ответ: $9$.