Номер 78, страница 418 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 78, страница 418.

Условие.

78 a) $\sqrt{10-x} = 4-x$;

б) $\sqrt{x-1} = x-3$;

в) $\sqrt{1+x} = 2x-4$;

г) $\sqrt{x+7} = 4x-5$;

д) $x+3\sqrt{x-5} = 5$;

е) $x+2\sqrt{x-6} = 6$;

ж) $\sqrt{x^4-3x-1} = x^2-1$;

з) $\sqrt{x^4+x-9} = x^2-1$;

и) $\sqrt{x(x-2)(x+3)} = 3-x$;

к) $\sqrt{x(x+4)(x-3)} = 6-x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{10-x} = 4-x$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и правая часть уравнения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} 10-x \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 10 \\ x \le 4 \end{cases} \implies x \le 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{10-x})^2 = (4-x)^2$
$10-x = 16 - 8x + x^2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 8x + x + 16 - 10 = 0$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 4$).
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \le 4$.
$x_2 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \le 4$, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $x=1$.

б) $\sqrt{x-1} = x-3$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 3$).
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \ge 3$ (посторонний корень).
$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 3$.
Ответ: $x=5$.

в) $\sqrt{1+x} = 2x-4$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 1+x \ge 0 \\ 2x-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ 2x \ge 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.
Возведем обе части в квадрат:
$1+x = (2x-4)^2$
$1+x = 4x^2 - 16x + 16$
$4x^2 - 17x + 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{17-7}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$, $x_2 = \frac{17+7}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 2$).
$x_1 = 1.25$ не удовлетворяет условию (посторонний корень).
$x_2 = 3$ удовлетворяет условию.
Ответ: $x=3$.

г) $\sqrt{x+7} = 4x-5$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 4x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ 4x \ge 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 1.25 \end{cases} \implies x \ge 1.25$.
Возведем обе части в квадрат:
$x+7 = (4x-5)^2$
$x+7 = 16x^2 - 40x + 25$
$16x^2 - 41x + 18 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-41)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 18 = 1681 - 1152 = 529 = 23^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{41-23}{2 \cdot 16} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$, $x_2 = \frac{41+23}{2 \cdot 16} = \frac{64}{32} = 2$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 1.25$).
$x_1 = \frac{9}{16} = 0.5625$ не удовлетворяет условию (посторонний корень).
$x_2 = 2$ удовлетворяет условию.
Ответ: $x=2$.

д) $x + 3\sqrt{x-5} = 5$
ОДЗ: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
Перенесем $x$ в правую часть: $3\sqrt{x-5} = 5-x$.
Из ОДЗ $x \ge 5$, тогда $5-x \le 0$. Левая часть $3\sqrt{x-5} \ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0.
$3\sqrt{x-5} = 0 \implies x-5=0 \implies x=5$.
При $x=5$ правая часть $5-x = 5-5 = 0$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=5$.

е) $x + 2\sqrt{x-6} = 6$
ОДЗ: $x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$.
Перенесем $x$ в правую часть: $2\sqrt{x-6} = 6-x$.
Из ОДЗ $x \ge 6$, тогда $6-x \le 0$. Левая часть $2\sqrt{x-6} \ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0.
$2\sqrt{x-6} = 0 \implies x-6=0 \implies x=6$.
При $x=6$ правая часть $6-x = 6-6 = 0$.
Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=6$.

ж) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 \ge 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$. Второе неравенство дает $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$
$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3-5}{4} = -0.5$, $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.
Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = -0.5$ не входит в область $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, это посторонний корень.
$x_2 = 2$ входит в область. Проверим первое условие ОДЗ для $x=2$: $2^4 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9 \ge 0$. Условие выполняется.
Ответ: $x=2$.

з) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^4 + x - 9 \ge 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$. Второе неравенство дает $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^4 + x - 9 = (x^2 - 1)^2$
$x^4 + x - 9 = x^4 - 2x^2 + 1$
$2x^2 + x - 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1-9}{4} = -2.5$, $x_2 = \frac{-1+9}{4} = 2$.
Проверим корни по ОДЗ.
$x_1 = -2.5$ входит в область $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. Проверка: $(-2.5)^4 + (-2.5) - 9 = 39.0625 - 2.5 - 9 = 27.5625 \ge 0$. Корень подходит.
$x_2 = 2$ входит в область. Проверка: $2^4 + 2 - 9 = 16 + 2 - 9 = 9 \ge 0$. Корень подходит.
Ответ: $x_1 = -2.5, x_2 = 2$.

и) $\sqrt{x(x-2)(x+3)} = 3-x$
Найдем ОДЗ:
1) $3-x \ge 0 \implies x \le 3$.
2) $x(x-2)(x+3) \ge 0$. Методом интервалов находим, что это выполняется при $x \in [-3, 0] \cup [2, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-3, 0] \cup [2, 3]$.
Возведем в квадрат обе части:
$x(x-2)(x+3) = (3-x)^2$
$x(x^2+x-6) = 9-6x+x^2$
$x^3+x^2-6x = 9-6x+x^2$
$x^3 = 9$
$x = \sqrt[3]{9}$.
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Так как $2^3=8$ и $3^3=27$, то $2 < \sqrt[3]{9} < 3$. Этот корень входит в промежуток $[2, 3]$ из ОДЗ.
Ответ: $x=\sqrt[3]{9}$.

к) $\sqrt{x(x+4)(x-3)} = 6-x$
Найдем ОДЗ:
1) $6-x \ge 0 \implies x \le 6$.
2) $x(x+4)(x-3) \ge 0$. Методом интервалов находим, что это выполняется при $x \in [-4, 0] \cup [3, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-4, 0] \cup [3, 6]$.
Возведем в квадрат обе части:
$x(x+4)(x-3) = (6-x)^2$
$x(x^2+x-12) = 36-12x+x^2$
$x^3+x^2-12x = 36-12x+x^2$
$x^3 = 36$
$x = \sqrt[3]{36}$.
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Так как $3^3=27$ и $4^3=64$, то $3 < \sqrt[3]{36} < 4$. Этот корень входит в промежуток $[3, 6]$ из ОДЗ.
Ответ: $x=\sqrt[3]{36}$.