Номер 73, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 73, страница 417.

Условие.

73 $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{18x + 7}{x^3 - 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

73. Для решения уравнения найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в уравнении не должны быть равны нулю:
1. $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. $x^2 + x + 1 \neq 0$. Это верно для всех действительных $x$, так как дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$.
3. $x^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь преобразуем уравнение. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. Используем формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей в уравнении — это $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)$.
Умножим обе части уравнения на НОЗ, при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ:
$30(x^2+x+1) - 13(x-1)(x+1) = (18x+7)(x+1)$.

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$30(x^2+x+1) - 13(x^2-1) = 18x^2 + 18x + 7x + 7$
$30x^2 + 30x + 30 - 13x^2 + 13 = 18x^2 + 25x + 7$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$17x^2 + 30x + 43 = 18x^2 + 25x + 7$.

Перенесем все члены уравнения в правую сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$0 = (18x^2 - 17x^2) + (25x - 30x) + (7 - 43)$
$0 = x^2 - 5x - 36$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней должна быть равна $-(-5)=5$, а их произведение должно быть равно $-36$.
Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$.
Проверка по теореме Виета: $9 + (-4) = 5$ и $9 \cdot (-4) = -36$. Корни найдены верно.
Альтернативно, используем формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}$.
Отсюда, $x_1 = \frac{5+13}{2} = \frac{18}{2} = 9$ и $x_2 = \frac{5-13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Найденные корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$ принадлежат области допустимых значений, так как они не равны $1$ или $-1$. Следовательно, оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $-4; 9$.