Номер 69, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 69, страница 416.

Условие.

Решите уравнение (69—76):

69 a) $\frac{17}{5x} = 2 - \frac{7}{x}$;

б) $\frac{x-1}{x+1} - 3 \cdot \frac{x+1}{x-1} + 2 = 0$;

в) $\frac{3x-6}{2x} + \frac{4x}{x-2} - 5 = 0$;

г) $\frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x^2+3x+2}$;

д) $ \left(\frac{x^3+8}{x^3+4x^2+4x} - \frac{2}{x+2}\right)(x-2)^{-2} = \frac{1}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{17}{5x} = 2 - \frac{7}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны равняться нулю, поэтому $x \neq 0$.
Перенесем все члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения:
$\frac{17}{5x} + \frac{7}{x} = 2$
Приведем дроби к общему знаменателю $5x$:
$\frac{17}{5x} + \frac{7 \cdot 5}{5x} = 2$
$\frac{17 + 35}{5x} = 2$
$\frac{52}{5x} = 2$
Умножим обе части на $5x$ (так как $x \neq 0$):
$52 = 2 \cdot 5x$
$52 = 10x$
$x = \frac{52}{10} = 5.2$
Корень $x=5.2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5.2$

б) $\frac{x-1}{x+1} - 3 \cdot \frac{x+1}{x-1} + 2 = 0$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, следовательно $x \neq -1$ и $x \neq 1$.
Это уравнение является сводящимся к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-1}{x+1}$. Тогда $\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{y}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$y - 3 \cdot \frac{1}{y} + 2 = 0$
Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$; если $y=0$, то $\frac{x-1}{x+1}=0 \implies x=1$, что не входит в ОДЗ):
$y^2 - 3 + 2y = 0$
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$ с помощью теоремы Виета:
$y_1 + y_2 = -2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1) Если $y_1 = 1$:
$\frac{x-1}{x+1} = 1$
$x-1 = x+1$
$-1 = 1$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
2) Если $y_2 = -3$:
$\frac{x-1}{x+1} = -3$
$x-1 = -3(x+1)$
$x-1 = -3x - 3$
$4x = -2$
$x = -\frac{2}{4} = -0.5$
Корень $x = -0.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-0.5$

в) $\frac{3x-6}{2x} + \frac{4x}{x-2} - 5 = 0$

ОДЗ: $2x \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Упростим первую дробь: $\frac{3(x-2)}{2x}$.
$\frac{3(x-2)}{2x} + \frac{4x}{x-2} - 5 = 0$
Приведем все члены к общему знаменателю $2x(x-2)$:
$\frac{3(x-2)(x-2)}{2x(x-2)} + \frac{4x \cdot 2x}{2x(x-2)} - \frac{5 \cdot 2x(x-2)}{2x(x-2)} = 0$
Так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ, можем приравнять числитель к нулю:
$3(x-2)^2 + 8x^2 - 10x(x-2) = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3(x^2 - 4x + 4) + 8x^2 - 10x^2 + 20x = 0$
$3x^2 - 12x + 12 + 8x^2 - 10x^2 + 20x = 0$
$(3+8-10)x^2 + (-12+20)x + 12 = 0$
$x^2 + 8x + 12 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -8$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-6; -2$

г) $\frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x^2+3x+2}$

Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$ и $x \neq -1$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{3}{x+2} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{2x+1}{(x+1)(x+2)}$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x+2)$:
$3(x+1) - (2x-1)(x+2) = 2x+1$
Раскроем скобки:
$3x+3 - (2x^2 + 4x - x - 2) = 2x+1$
$3x+3 - (2x^2 + 3x - 2) = 2x+1$
$3x+3 - 2x^2 - 3x + 2 = 2x+1$
$-2x^2 + 5 = 2x+1$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:
$0 = 2x^2 + 2x + 1 - 5$
$2x^2 + 2x - 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x=1$ удовлетворяет условиям. Корень $x=-2$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: $1$

д) $(\frac{x^3+8}{x^3+4x^2+4x} - \frac{2}{x+2})(x-2)^{-2} = \frac{1}{3}$

ОДЗ: $x^3+4x^2+4x \neq 0 \implies x(x^2+4x+4) \neq 0 \implies x(x+2)^2 \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -2$.
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
$(x-2)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^2} \implies (x-2)^2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Итоговая ОДЗ: $x \notin \{-2, 0, 2\}$.
Упростим выражение в скобках. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:
$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$ (сумма кубов)
$x^3+4x^2+4x = x(x+2)^2$
$\frac{x^3+8}{x^3+4x^2+4x} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x(x+2)^2} = \frac{x^2-2x+4}{x(x+2)}$
Теперь выполним вычитание в скобках:
$\frac{x^2-2x+4}{x(x+2)} - \frac{2}{x+2} = \frac{x^2-2x+4}{x(x+2)} - \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{x^2-2x+4-2x}{x(x+2)} = \frac{x^2-4x+4}{x(x+2)} = \frac{(x-2)^2}{x(x+2)}$
Подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:
$\frac{(x-2)^2}{x(x+2)} \cdot \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{1}{3}$
Сократим дробь на $(x-2)^2$, так как $x \neq 2$ по ОДЗ:
$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{3}$
Из равенства дробей следует равенство их знаменателей:
$x(x+2) = 3$
$x^2 + 2x = 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 1$