Номер 65, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 65, страница 416.

Условие.

65 a) $(x+97)^2 + 34(x+97) + 120 = 0;$

б) $(x+79)^2 + 43(x+79) + 120 = 0;$

в) $(x+93)^2 + 35(x+93) + 150 = 0;$

г) $(x+86)^2 + 44(x+86) + 160 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)
Решим уравнение $(x + 97)^2 + 34(x + 97) + 120 = 0$.
Это биквадратное уравнение, которое можно решить методом замены переменной. Пусть $t = x + 97$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 + 34t + 120 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 - 26}{2} = \frac{-60}{2} = -30$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 + 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Теперь выполним обратную замену для нахождения $x$:
1. При $t = -30$: $x + 97 = -30 \Rightarrow x = -30 - 97 = -127$.
2. При $t = -4$: $x + 97 = -4 \Rightarrow x = -4 - 97 = -101$.
Ответ: $x_1 = -127, x_2 = -101$.

б)
Решим уравнение $(x + 79)^2 + 43(x + 79) + 120 = 0$.
Введем замену переменной $t = x + 79$. Уравнение преобразуется в:
$t^2 + 43t + 120 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 43^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1849 - 480 = 1369$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-43 - 37}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-43 + 37}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -40$: $x + 79 = -40 \Rightarrow x = -40 - 79 = -119$.
2. При $t = -3$: $x + 79 = -3 \Rightarrow x = -3 - 79 = -82$.
Ответ: $x_1 = -119, x_2 = -82$.

в)
Решим уравнение $(x + 93)^2 + 35(x + 93) + 150 = 0$.
Введем замену переменной $t = x + 93$. Уравнение примет вид:
$t^2 + 35t + 150 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 1225 - 600 = 625$.
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - 25}{2} = \frac{-60}{2} = -30$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -30$: $x + 93 = -30 \Rightarrow x = -30 - 93 = -123$.
2. При $t = -5$: $x + 93 = -5 \Rightarrow x = -5 - 93 = -98$.
Ответ: $x_1 = -123, x_2 = -98$.

г)
Решим уравнение $(x + 86)^2 + 44(x + 86) + 160 = 0$.
Введем замену переменной $t = x + 86$. Уравнение примет вид:
$t^2 + 44t + 160 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 44^2 - 4 \cdot 1 \cdot 160 = 1936 - 640 = 1296$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-44 - 36}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-44 + 36}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -40$: $x + 86 = -40 \Rightarrow x = -40 - 86 = -126$.
2. При $t = -4$: $x + 86 = -4 \Rightarrow x = -4 - 86 = -90$.
Ответ: $x_1 = -126, x_2 = -90$.