Номер 72, страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 72, страница 417.

Условие.

72 a) $\frac{1}{x-5} = \frac{11}{x^2 - 20x + 75}$;

б) $\frac{1}{x-6} = \frac{13}{x^2 - 20x + 84}$;

В) $\frac{1}{x-7} = \frac{19}{x^2 - 20x + 91}$;

Г) $\frac{1}{x-8} = \frac{17}{x^2 - 20x + 96}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-5} = \frac{11}{x^2 - 20x + 75} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $.

2. $ x^2 - 20x + 75 \neq 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $ x^2 - 20x + 75 = 0 $.
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100 = 10^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 10}{2} = 15 $ и $ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 10}{2} = 5 $.
Следовательно, $ x \neq 5 $ и $ x \neq 15 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{5, 15\} $.

Разложим знаменатель правой части на множители: $ x^2 - 20x + 75 = (x-5)(x-15) $.
Перепишем уравнение:
$ \frac{1}{x-5} = \frac{11}{(x-5)(x-15)} $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-5)(x-15) $, который не равен нулю в ОДЗ.
$ 1 \cdot (x-15) = 11 $
$ x - 15 = 11 $
$ x = 11 + 15 $
$ x = 26 $.

Полученный корень $ x = 26 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 26 \neq 5 $ и $ 26 \neq 15 $.

Ответ: $ 26 $.

б)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-6} = \frac{13}{x^2 - 20x + 84} $.

Найдем ОДЗ:
1. $ x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6 $.

2. $ x^2 - 20x + 84 \neq 0 $. Решим уравнение $ x^2 - 20x + 84 = 0 $.
$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64 = 8^2 $.
$ x_1 = \frac{20 + 8}{2} = 14 $ и $ x_2 = \frac{20 - 8}{2} = 6 $.
Следовательно, $ x \neq 6 $ и $ x \neq 14 $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{6, 14\} $.

Разложим знаменатель $ x^2 - 20x + 84 = (x-6)(x-14) $ и подставим в уравнение:
$ \frac{1}{x-6} = \frac{13}{(x-6)(x-14)} $.

В области допустимых значений $ x-6 \neq 0 $, поэтому можно умножить обе части на $ (x-6) $:
$ 1 = \frac{13}{x-14} $
$ x - 14 = 13 $
$ x = 13 + 14 $
$ x = 27 $.

Корень $ x = 27 $ принадлежит ОДЗ ($ 27 \neq 6 $ и $ 27 \neq 14 $).

Ответ: $ 27 $.

в)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-7} = \frac{19}{x^2 - 20x + 91} $.

Найдем ОДЗ:
1. $ x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7 $.

2. $ x^2 - 20x + 91 \neq 0 $. Решим уравнение $ x^2 - 20x + 91 = 0 $.
$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36 = 6^2 $.
$ x_1 = \frac{20 + 6}{2} = 13 $ и $ x_2 = \frac{20 - 6}{2} = 7 $.
Следовательно, $ x \neq 7 $ и $ x \neq 13 $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{7, 13\} $.

Разложим знаменатель $ x^2 - 20x + 91 = (x-7)(x-13) $ и подставим в уравнение:
$ \frac{1}{x-7} = \frac{19}{(x-7)(x-13)} $.

Умножим обе части на $ (x-7) $, так как в ОДЗ $ x \neq 7 $:
$ 1 = \frac{19}{x-13} $
$ x - 13 = 19 $
$ x = 19 + 13 $
$ x = 32 $.

Корень $ x = 32 $ принадлежит ОДЗ ($ 32 \neq 7 $ и $ 32 \neq 13 $).

Ответ: $ 32 $.

г)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-8} = \frac{17}{x^2 - 20x + 96} $.

Найдем ОДЗ:
1. $ x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8 $.

2. $ x^2 - 20x + 96 \neq 0 $. Решим уравнение $ x^2 - 20x + 96 = 0 $.
$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16 = 4^2 $.
$ x_1 = \frac{20 + 4}{2} = 12 $ и $ x_2 = \frac{20 - 4}{2} = 8 $.
Следовательно, $ x \neq 8 $ и $ x \neq 12 $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{8, 12\} $.

Разложим знаменатель $ x^2 - 20x + 96 = (x-8)(x-12) $ и подставим в уравнение:
$ \frac{1}{x-8} = \frac{17}{(x-8)(x-12)} $.

Умножим обе части на $ (x-8) $, так как в ОДЗ $ x \neq 8 $:
$ 1 = \frac{17}{x-12} $
$ x - 12 = 17 $
$ x = 17 + 12 $
$ x = 29 $.

Корень $ x = 29 $ принадлежит ОДЗ ($ 29 \neq 8 $ и $ 29 \neq 12 $).

Ответ: $ 29 $.