Номер 67, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 67, страница 416.

Условие.

67 При каких целых значениях $k$ являются рациональными числами корни уравнения $kx^2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы корни уравнения $kx^2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0$ были рациональными числами, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения целого параметра $k$.

Случай 1: $k = 0$

Если $k=0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 - (1 - 2 \cdot 0)x + 0 - 2 = 0$

$-x - 2 = 0$

$x = -2$

Корень $x = -2$ является рациональным числом. Следовательно, значение $k=0$ удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $k \neq 0$

При $k \neq 0$ уравнение является квадратным. Его коэффициенты $a=k$, $b=-(1-2k)=2k-1$ и $c=k-2$ являются целыми числами, так как по условию $k$ — целое число. Корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами являются рациональными числами тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ является полным квадратом целого числа.

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (2k-1)^2 - 4k(k-2)$

$D = (4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 - 8k)$

$D = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 8k$

$D = 4k + 1$

Для того чтобы корни были рациональными, необходимо, чтобы дискриминант $D = 4k + 1$ был полным квадратом. То есть, должно выполняться равенство $4k+1 = m^2$ для некоторого неотрицательного целого числа $m$.

Выразим $k$ из этого равенства:

$4k = m^2 - 1$

$k = \frac{m^2 - 1}{4}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, выражение $m^2 - 1$ должно быть кратно 4. Рассмотрим, каким для этого должно быть число $m$.

Если $m$ — четное число, то его можно представить в виде $m = 2n$ для некоторого целого $n$. Тогда $m^2 = (2n)^2 = 4n^2$, а $m^2 - 1 = 4n^2 - 1$. Это число при делении на 4 дает остаток -1 (или 3) и не делится на 4 нацело.

Если $m$ — нечетное число, то его можно представить в виде $m = 2n+1$ для некоторого целого $n$. Тогда $m^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$, а $m^2 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n+1)$. Это выражение всегда делится на 4 нацело.

Следовательно, $m$ должно быть нечетным числом. Подставив $m^2-1 = 4n(n+1)$ в формулу для $k$, получаем:

$k = \frac{4n(n+1)}{4} = n(n+1)$

Таким образом, $k$ должно быть произведением двух последовательных целых чисел (такие числа называются проническими). Здесь $n$ может быть любым целым числом. Например:

• при $n=0, k = 0 \cdot 1 = 0$
• при $n=1, k = 1 \cdot 2 = 2$
• при $n=2, k = 2 \cdot 3 = 6$
• при $n=-1, k = (-1) \cdot 0 = 0$
• при $n=-2, k = (-2) \cdot (-1) = 2$

Это условие $k=n(n+1)$ включает и рассмотренный ранее случай $k=0$ (при $n=0$ или $n=-1$).

Итак, все целые значения $k$, при которых корни уравнения являются рациональными числами, должны иметь вид $n(n+1)$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $k=n(n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$ (то есть $n$ — любое целое число).