Номер 60, страница 416 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 60, страница 416.

Условие.

60 a) Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом 8, такая, что $f(x) = 8x - x^2$ при $x \in [0; 8)$. Решите уравнение $f(2x + 16) + 23 = 5f(x)$.

б) Пусть $f(x)$ — периодическая функция с периодом 1, такая, что $f(x) = x^2$ при $x \in [0; 1)$. Решите уравнение $f(2x + 5) + 2f(x) = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

По условию, $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T=8$. Это означает, что для любого $x$ и любого целого $k$ выполняется равенство $f(x + 8k) = f(x)$. На отрезке $x \in [0; 8]$ функция задается формулой $f(x) = 8x - x^2$.

Рассмотрим уравнение $f(2x + 16) + 23 = 5f(x)$.

Используем свойство периодичности для члена $f(2x + 16)$. Так как $16 = 2 \cdot 8$, то есть кратно периоду, мы можем упростить его:

$f(2x + 16) = f(2x + 2 \cdot 8) = f(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему виду:

$f(2x) + 23 = 5f(x)$.

Для решения этого уравнения будем искать корни на основном отрезке $[0; 8)$, а затем обобщим их. Для того чтобы использовать формулу $f(x) = 8x - x^2$, аргумент функции должен находиться в отрезке $[0; 8]$. Разобьем решение на два случая в зависимости от значения $x$.

Случай 1: $x \in [0; 4)$

Если $x \in [0; 4)$, то $2x \in [0; 8)$. В этом случае мы можем применить заданную формулу как для $f(x)$, так и для $f(2x)$:

$f(x) = 8x - x^2$

$f(2x) = 8(2x) - (2x)^2 = 16x - 4x^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(16x - 4x^2) + 23 = 5(8x - x^2)$

$16x - 4x^2 + 23 = 40x - 5x^2$

$x^2 - 24x + 23 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 23$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[0; 4)$. Корень $x_1 = 1$ принадлежит этому интервалу, следовательно, является решением. Корень $x_2 = 23$ не принадлежит, поэтому он не является решением в данном случае.

Случай 2: $x \in [4; 8)$

Если $x \in [4; 8)$, то $2x \in [8; 16)$. Аргумент $2x$ выходит за пределы отрезка $[0; 8]$, поэтому для вычисления $f(2x)$ нужно использовать периодичность:

$f(2x) = f(2x - 8)$.

Теперь аргумент $(2x - 8)$ принадлежит отрезку $[0; 8)$, и мы можем применить формулу:

$f(2x) = 8(2x - 8) - (2x - 8)^2 = 16x - 64 - (4x^2 - 32x + 64) = 16x - 64 - 4x^2 + 32x - 64 = -4x^2 + 48x - 128$.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f(2x)$ в уравнение:

$(-4x^2 + 48x - 128) + 23 = 5(8x - x^2)$

$-4x^2 + 48x - 105 = 40x - 5x^2$

$x^2 + 8x - 105 = 0$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

$x = \frac{-8 \pm 22}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-8 - 22}{2} = -15$ и $x_2 = \frac{-8 + 22}{2} = 7$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[4; 8)$. Корень $x_1 = -15$ не принадлежит. Корень $x_2 = 7$ принадлежит, следовательно, является решением.

Итак, на основном отрезке $[0; 8)$ мы нашли два решения: $x=1$ и $x=7$.

Поскольку $f(x)$ — периодическая функция с периодом 8, то и решения уравнения будут повторяться с этим же периодом. Если $x_0$ является решением, то и любое число вида $x_0 + 8k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) также является решением.

Ответ: $1 + 8k, 7 + 8k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

По условию, $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T=1$. Это означает, что для любого $x$ и любого целого $k$ выполняется равенство $f(x + k) = f(x)$. На отрезке $x \in [0; 1)$ функция задается формулой $f(x) = x^2$.

Рассмотрим уравнение $f(2x + 5) + 2f(x) = 1$.

Используем свойство периодичности для члена $f(2x + 5)$. Так как 5 — целое число, кратное периоду 1, мы можем упростить его:

$f(2x + 5) = f(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к следующему виду:

$f(2x) + 2f(x) = 1$.

Для решения этого уравнения будем искать корни на основном отрезке $[0; 1)$, а затем обобщим их. Разобьем решение на два случая.

Случай 1: $x \in [0; 1/2)$

Если $x \in [0; 1/2)$, то $2x \in [0; 1)$. В этом случае мы можем применить заданную формулу $f(u)=u^2$ для обоих членов уравнения:

$f(x) = x^2$

$f(2x) = (2x)^2 = 4x^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$4x^2 + 2x^2 = 1$

$6x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{6} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{6}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[0; 1/2)$.

Корень $x = \frac{\sqrt{6}}{6}$ принадлежит этому интервалу (так как $0 < \sqrt{6}/6 \approx 0.408 < 0.5$).

Корень $x = -\frac{\sqrt{6}}{6}$ является отрицательным и не принадлежит интервалу $[0; 1/2)$.

Случай 2: $x \in [1/2; 1)$

Если $x \in [1/2; 1)$, то $2x \in [1; 2)$. Аргумент $2x$ выходит за пределы отрезка $[0; 1)$, поэтому для вычисления $f(2x)$ нужно использовать периодичность:

$f(2x) = f(2x - 1)$.

Теперь аргумент $(2x - 1)$ принадлежит отрезку $[0; 1)$, и мы можем применить формулу:

$f(2x) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f(2x)$ в уравнение:

$(4x^2 - 4x + 1) + 2x^2 = 1$

$6x^2 - 4x = 0$

$2x(3x - 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Проверим, принадлежат ли корни рассматриваемому интервалу $[1/2; 1)$.

Корень $x_1 = 0$ не принадлежит этому интервалу.

Корень $x_2 = 2/3$ принадлежит интервалу $[1/2; 1)$ (так как $0.5 \le 2/3 < 1$), следовательно, является решением.

Итак, на основном отрезке $[0; 1)$ мы нашли два решения: $x=\frac{\sqrt{6}}{6}$ и $x=2/3$.

Поскольку $f(x)$ — периодическая функция с периодом 1, то и решения уравнения будут повторяться с этим же периодом. Если $x_0$ является решением, то и любое число вида $x_0 + k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) также является решением.

Ответ: $\frac{2}{3} + k, \frac{\sqrt{6}}{6} + k, k \in \mathbb{Z}$.