Номер 54, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 54, страница 415.

Условие.

54 a) $y = \sqrt{\log_2 (x^2 - 2x - 2)};$

б) $y = \sqrt{\log_4 (x^2 - 4x - 4)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\log_2(x^2 - 2x - 2)}$ необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} \log_2(x^2 - 2x - 2) \ge 0 \\ x^2 - 2x - 2 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство: $\log_2(x^2 - 2x - 2) \ge 0$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция логарифма является возрастающей. Поэтому неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 2x - 2 \ge 2^0$

$x^2 - 2x - 2 \ge 1$

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$

Заметим, что если выполнено неравенство $x^2 - 2x - 2 \ge 1$, то автоматически выполняется и второе неравенство системы $x^2 - 2x - 2 > 0$. Таким образом, достаточно решить только неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{2 + 4}{2} =