Номер 54, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

54 a) $y = \sqrt{\log_2 (x^2 - 2x - 2)};$

б) $y = \sqrt{\log_4 (x^2 - 4x - 4)}.$

Для нахождения области определения этих функций необходимо учитывать два условия:

• Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным ($\ge 0$).
• Аргумент логарифма должен быть строго положительным ($> 0$).

а) $y = \sqrt{\log_2 (x^2 - 2x - 2)}$

Составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \log_2 (x^2 - 2x - 2) \ge 0 \\ x^2 - 2x - 2 > 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\log_2 (x^2 - 2x - 2) \ge \log_2 1$.
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 2x - 2 \ge 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = 3, x_2 = -1$.
Решение: $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

2. Второе неравенство ($x^2 - 2x - 2 > 0$) выполняется автоматически, так как мы уже потребовали, чтобы это выражение было $\ge 1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$

б) $y = \sqrt{\log_4 (x^2 - 4x - 4)}$

Составим аналогичную систему:

$$ \begin{cases} \log_4 (x^2 - 4x - 4) \ge 0 \\ x^2 - 4x - 4 > 0 \end{cases} $$

1. Решим логарифмическое неравенство: $\log_4 (x^2 - 4x - 4) \ge \log_4 1$.
Основание $4 > 1$, значит:
$x^2 - 4x - 4 \ge 1 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 \ge 0$.
Найдем корни через дискриминант или теорему Виета: $x_1 = 5, x_2 = -1$.
Решение: $x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.

2. Условие $x^2 - 4x - 4 > 0$ снова поглощается первым неравенством, так как $1 > 0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$