Страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

45 $y = \sqrt{1 - 4 \sin^2 x \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x}.$

Для упрощения данного выражения преобразуем подкоренное выражение, используя тригонометрические тождества.

Исходное выражение: $y = \sqrt{1 - 4 \sin^2 x \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x}$.

Рассмотрим выражение под корнем: $1 - 4 \sin^2 x \cos^2 x - \cos^2 x + \sin^2 x$.

Мы можем перегруппировать слагаемые и использовать формулы двойного угла:

1. Формула синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x$.

2. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Отсюда следует, что $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$.

Подставим эти тождества в подкоренное выражение. Сначала перегруппируем слагаемые:

$1 - (4 \sin^2 x \cos^2 x) + (\sin^2 x - \cos^2 x)$

Теперь заменим выражения в скобках на их эквиваленты через двойной угол:

$1 - \sin^2(2x) - \cos(2x)$

Далее, применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому:

$1 - \sin^2(2x) = \cos^2(2x)$

Подставив это в наше выражение, получаем:

$\cos^2(2x) - \cos(2x)$

Таким образом, исходная функция упрощается до вида:

$y = \sqrt{\cos^2(2x) - \cos(2x)}$

Это выражение не может быть упрощено далее без дополнительных условий, так как оно определено только для тех значений $x$, при которых $\cos^2(2x) - \cos(2x) \ge 0$, то есть когда $\cos(2x) \le 0$ или $\cos(2x) = 1$.

Ответ: $y = \sqrt{\cos^2(2x) - \cos(2x)}$

46 $y = \sqrt{\sin^2 2x + 2 \sin x \cos x}.$

Для решения данной задачи мы упростим выражение для функции $y$, а также найдем ее область определения и область значений.

Исходная функция:

1. Упрощение выражения.

Воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла для синуса:

Подставим это тождество в исходное выражение для $y$:

Теперь вынесем общий множитель $\sin{2x}$ за скобки под корнем:

Это является итоговым упрощенным видом функции.

2. Нахождение области определения.

Функция определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно:

Мы знаем, что значение синуса любого угла находится в пределах от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \sin{2x} \le 1$.

Следовательно, второй множитель $\sin{2x} + 1$ всегда неотрицателен: $0 \le \sin{2x} + 1 \le 2$.

Таким образом, неравенство $\sin{2x}(\sin{2x} + 1) \ge 0$ выполняется в двух случаях:

а) Когда второй множитель равен нулю: $\sin{2x} + 1 = 0 \implies \sin{2x} = -1$.

б) Когда второй множитель положителен, а первый неотрицателен: $\sin{2x} + 1 > 0$ и $\sin{2x} \ge 0$. Это упрощается до $\sin{2x} \ge 0$.

Итак, область определения задается условием $\sin{2x} \ge 0$ или $\sin{2x} = -1$.

Решим эти условия относительно $x$:

• $\sin{2x} = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\sin{2x} \ge 0 \implies 2k\pi \le 2x \le \pi + 2k\pi \implies k\pi \le x \le \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции — это объединение этих множеств.

3. Нахождение области значений.

Пусть $t = \sin{2x}$. Из области определения мы знаем, что допустимые значения для $t$ — это $t = -1$ и $t \in [0, 1]$.

Наша функция теперь имеет вид $y = \sqrt{t^2+t}$.

• При $t = -1$, $y = \sqrt{(-1)^2 + (-1)} = \sqrt{1-1} = 0$.
• При $t \in [0, 1]$, рассмотрим функцию $g(t) = t^2+t$. Это парабола с ветвями вверх, ее вершина находится в точке $t_v = -1/2$, поэтому на отрезке $[0, 1]$ функция $g(t)$ монотонно возрастает. Наименьшее значение $g(t)$ на этом отрезке достигается при $t=0$: $g(0) = 0^2+0 = 0$. Наибольшее значение достигается при $t=1$: $g(1) = 1^2+1 = 2$. Значит, при $t \in [0, 1]$, значения $g(t)$ лежат в отрезке $[0, 2]$.

Поскольку функция $y=\sqrt{g(t)}$ также является возрастающей, ее значения будут лежать в отрезке $[\sqrt{0}, \sqrt{2}]$, то есть $[0, \sqrt{2}]$.

Объединяя оба случая, получаем, что область значений функции $y$ есть отрезок $[0, \sqrt{2}]$.

Ответ: Упрощенное выражение для функции: $y = \sqrt{\sin{2x}(\sin{2x} + 1)}$. Область определения функции: $x \in [k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi] \cup \{-\frac{\pi}{4} + k\pi\}$ для всех целых $k$. Область значений функции: $[0, \sqrt{2}]$.

47 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $ (y - 1)(x^2 - 3x - 18) = 0 $

б) $ (y + 1)(x^2 + 3x - 10) = 0 $

Уравнение $(y - 1)(x^2 - 3x - 18) = 0$ представляет собой произведение, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $y - 1 = 0$

2) $x^2 - 3x - 18 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Из первого уравнения $y - 1 = 0$ получаем $y = 1$. Графиком этого уравнения на координатной плоскости является горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 1)$.

Второе уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Для нахождения его корней вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = -3$.

Эти решения, $x=6$ и $x=-3$, задают две вертикальные прямые, параллельные оси Oy. Первая прямая проходит через точку $(6, 0)$, вторая — через точку $(-3, 0)$.

Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному условию, является объединением трех прямых.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение трех прямых: $y=1$, $x=6$ и $x=-3$.

Уравнение $(y + 1)(x^2 + 3x - 10) = 0$ также распадается на совокупность двух уравнений, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $y + 1 = 0$

2) $x^2 + 3x - 10 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение.

Из первого уравнения $y + 1 = 0$ получаем $y = -1$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую через точку $(0, -1)$.

Решим второе, квадратное уравнение $x^2 + 3x - 10 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

Эти решения, $x=2$ и $x=-5$, задают две вертикальные прямые, параллельные оси ординат. Прямая $x=2$ проходит через точку $(2, 0)$, а прямая $x=-5$ — через точку $(-5, 0)$.

Следовательно, множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному уравнению, является объединением трех прямых.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение трех прямых: $y=-1$, $x=2$ и $x=-5$.

Укажите область определения функции (48–55):

48 a) $y = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$;

б) $y = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x-2}{x^2-4}$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

Данная функция является дробно-рациональной. Основное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как на ноль делить нельзя.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить из области определения:

$x^2 - 4 = 0$

Это уравнение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x - 2 = 0 \quad$ или $\quad x + 2 = 0$

$x = 2 \quad$ или $\quad x = -2$

Следовательно, при $x=2$ и $x=-2$ функция не определена. Областью определения являются все действительные числа, кроме этих двух точек.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x+3}{x^2-9}$.

Аналогично предыдущему пункту, находим область определения, исключая значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x^2 - 9 = 0$

Снова используем формулу разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Решаем получившееся уравнение:

$x - 3 = 0 \quad$ или $\quad x + 3 = 0$

$x = 3 \quad$ или $\quad x = -3$

Таким образом, функция не определена в точках $x=3$ и $x=-3$. Областью определения являются все действительные числа, за исключением этих двух значений.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

49 a) $y = \sqrt{\cos x - 1}$;

б) $y = \sqrt{\sin x - 1}$.

а) Для того чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{\cos x - 1}$, необходимо, чтобы выражение, находящееся под знаком квадратного корня, было неотрицательным. Это условие записывается в виде неравенства:
$\cos x - 1 \ge 0$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$\cos x \ge 1$
Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.
Сравнивая это свойство с полученным нами неравенством $\cos x \ge 1$, мы приходим к выводу, что оно может быть истинным только в одном случае — когда $\cos x$ принимает свое максимальное значение:
$\cos x = 1$
Это является простейшим тригонометрическим уравнением, решения которого имеют вид:
$x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения исходной функции состоит только из этих точек.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для того чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{\sin x - 1}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Запишем соответствующее неравенство:
$\sin x - 1 \ge 0$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$\sin x \ge 1$
Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Сравнивая это свойство с неравенством $\sin x \ge 1$, делаем вывод, что оно выполняется только тогда, когда $\sin x$ принимает свое максимальное значение:
$\sin x = 1$
Решениями этого простейшего тригонометрического уравнения являются точки вида:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения исходной функции состоит только из этих точек.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

50 a) $y = \sqrt{\frac{17 - 15x - 2x^2}{x + 3}}$;

б) $y = \frac{-4x^2 + 4x + 3}{\sqrt{2x^2 - 7x + 3}}$.

а) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\frac{17 - 15x - 2x^2}{x + 3}}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это приводит к решению рационального неравенства:

$\frac{17 - 15x - 2x^2}{x + 3} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $17 - 15x - 2x^2 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства: $2x^2 + 15x - 17 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 225 + 136 = 361 = 19^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-15 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-34}{4} = -8.5$; $x_2 = \frac{-15 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -3$.

Исходное неравенство эквивалентно следующему: $\frac{-2(x-1)(x+8.5)}{x+3} \ge 0$.
Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{(x-1)(x+8.5)}{x+3} \le 0$.

Отметим на числовой оси точки $x = -8.5$, $x = -3$ и $x = 1$. Точки -8.5 и 1, являющиеся корнями числителя, включаются в решение (закрашенные точки), а точка -3, являющаяся корнем знаменателя, исключается (выколотая точка). Эти точки разбивают ось на четыре интервала.

Определим знак выражения $\frac{(x-1)(x+8.5)}{x+3}$ на каждом интервале:

• При $x \in (1, +\infty)$, выражение положительно.
• При $x \in (-3, 1)$, выражение отрицательно.
• При $x \in (-8.5, -3)$, выражение положительно.
• При $x \in (-\infty, -8.5)$, выражение отрицательно.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -8.5]$ и $(-3, 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8.5] \cup (-3, 1]$.

б) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{-4x^2 + 4x + 3}}{\sqrt{2x^2 - 7x + 3}}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $-4x^2 + 4x + 3 \ge 0$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (т.к. находится в знаменателе): $2x^2 - 7x + 3 > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} -4x^2 + 4x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 7x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-4x^2 + 4x + 3 \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $4x^2 - 4x - 3 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 4x - 3 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{4 - 8}{8} = -0.5$; $x_2 = \frac{4 + 8}{8} = 1.5$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-0.5, 1.5]$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 7x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{7 - 5}{4} = 0.5$; $x_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 0.5) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:
$x \in [-0.5, 1.5] \cap ((-\infty, 0.5) \cup (3, +\infty))$.
Пересекая отрезок $[-0.5, 1.5]$ с объединением интервалов $(-\infty, 0.5)$ и $(3, +\infty)$, получаем полуинтервал $[-0.5, 0.5)$.

Ответ: $x \in [-0.5, 0.5)$.

51 a) $y = \sqrt{20 + 8x - x^2} + \sqrt[6]{x - 4};$

б) $y = \frac{\sqrt{33 + 8x - x^2}}{\sqrt[4]{x - 5}}.$

а) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{20 + 8x - x^2} + \sqrt[6]{x - 4}$, необходимо, чтобы выражения под корнями четной степени (квадратным и шестой степени) были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 20 + 8x - x^2 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $20 + 8x - x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x - 20 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x - 20 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 12}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 12}{2} = 10$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 8x - 20$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 8x - 20 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-2 \le x \le 10$, то есть $x \in [-2; 10]$.

2. Решим второе неравенство: $x - 4 \ge 0$.

Перенеся -4 в правую часть, получаем: $x \ge 4$, то есть $x \in [4; +\infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[-2; 10]$ и $[4; +\infty)$.

$\begin{cases} -2 \le x \le 10 \\ x \ge 4 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является отрезок $[4; 10]$.

Ответ: $[4; 10]$.

б) Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{33 + 8x - x^2}}{\sqrt[4]{x - 5}}$, необходимо учесть два условия: выражение под квадратным корнем в числителе должно быть неотрицательным, а выражение под корнем четвертой степени в знаменателе — строго положительным (поскольку корень четной степени не может быть из отрицательного числа, и деление на ноль недопустимо).

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 33 + 8x - x^2 \ge 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $33 + 8x - x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x - 33 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x - 33 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = 11$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 8x - 33$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 8x - 33 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-3 \le x \le 11$, то есть $x \in [-3; 11]$.

2. Решим второе неравенство: $x - 5 > 0$.

Перенеся -5 в правую часть, получаем: $x > 5$, то есть $x \in (5; +\infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[-3; 11]$ и $(5; +\infty)$.

$\begin{cases} -3 \le x \le 11 \\ x > 5 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(5; 11]$.

Ответ: $(5; 11]$.

52 а) $y = \sqrt{(x^4 - 4x^2 + 3)} \cdot |2x - 3|$

б) $y = \sqrt{(x^4 - 11x^2 + 18)} \cdot |2x - 5|$

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{(x^4 - 4x^2 + 3) \cdot |2x - 3|}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным.

$(x^4 - 4x^2 + 3) \cdot |2x - 3| \ge 0$.

Множитель $|2x - 3|$ всегда неотрицателен, то есть $|2x - 3| \ge 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, произведение будет неотрицательным в двух случаях:

1. Если $|2x - 3| = 0$, что эквивалентно $2x - 3 = 0$, откуда $x = 1.5$. При этом значении $x$ всё подкоренное выражение равно нулю, что допустимо.

2. Если $|2x - 3| > 0$ (то есть $x \ne 1.5$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы первый множитель был неотрицателен:

$x^4 - 4x^2 + 3 \ge 0$.

Это биквадратное неравенство. Произведем замену переменной $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

$t^2 - 4t + 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $z = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, неравенство $t^2 - 4t + 3 \ge 0$ выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

- $t \le 1 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$. Решение: $x \in [-1, 1]$.

- $t \ge 3 \implies x^2 \ge 3 \implies x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$. Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Объединяя эти решения, получаем множество $(-\infty, -\sqrt{3}] \cup [-1, 1] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Итоговая область определения функции — это объединение множества, полученного в пункте 2, и точки из пункта 1. Так как $x = 1.5$ не принадлежит найденным интервалам ($1 < 1.5 < \sqrt{3}$), его необходимо добавить в ответ как изолированную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [-1, 1] \cup \{1.5\} \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

б)

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{(x^4 - 11x^2 + 18) \cdot |2x - 5|}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным.

$(x^4 - 11x^2 + 18) \cdot |2x - 5| \ge 0$.

Множитель $|2x - 5|$ всегда неотрицателен, то есть $|2x - 5| \ge 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, произведение будет неотрицательным в двух случаях:

1. Если $|2x - 5| = 0$, что эквивалентно $2x - 5 = 0$, откуда $x = 2.5$. При этом значении $x$ всё подкоренное выражение равно нулю, что допустимо.

2. Если $|2x - 5| > 0$ (то есть $x \ne 2.5$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы первый множитель был неотрицателен:

$x^4 - 11x^2 + 18 \ge 0$.

Это биквадратное неравенство. Произведем замену переменной $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

$t^2 - 11t + 18 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 11t + 18 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 9$.

Графиком функции $z = t^2 - 11t + 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, неравенство $t^2 - 11t + 18 \ge 0$ выполняется при $t \le 2$ или $t \ge 9$.

Выполним обратную замену:

- $t \le 2 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$. Решение: $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

- $t \ge 9 \implies x^2 \ge 9 \implies x \le -3$ или $x \ge 3$. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Объединяя эти решения, получаем множество $(-\infty, -3] \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup [3, \infty)$.

Итоговая область определения функции — это объединение множества, полученного в пункте 2, и точки из пункта 1. Так как $x = 2.5$ не принадлежит найденным интервалам ($\sqrt{2} < 2.5 < 3$), его необходимо добавить в ответ как изолированную точку.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup \{2.5\} \cup [3, \infty)$.

53 а) $y = \frac{1}{\lg(2x - 5)}$;

б) $y = \frac{1}{\lg(2x + 3)}$;

В) $y = \sqrt{2x^2 - 7x + \frac{1}{\lg(2x + 3)}}$;

Г) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + \frac{1}{\lg(2x + 1)}}$.

а) $y = \frac{1}{\lg(2x-5)}$

Область определения функции (ОДЗ) задается следующими условиями:

1. Аргумент десятичного логарифма должен быть строго положительным.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2x - 5 > 0 \\ \lg(2x - 5) \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$2x > 5$

$x > 2.5$

Решаем второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1:

$2x - 5 \neq 1$

$2x \neq 6$

$x \neq 3$

Совмещая оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше $2.5$, но не равен $3$.

Ответ: $x \in (2.5; 3) \cup (3; +\infty)$

б) $y = \frac{1}{\lg(2x+3)}$

Область определения функции задается аналогичными условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2x + 3 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\lg(2x + 3) \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ \lg(2x + 3) \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$2x > -3$

$x > -1.5$

Из второго условия получаем:

$2x + 3 \neq 1$

$2x \neq -2$

$x \neq -1$

Таким образом, $x$ должен быть больше $-1.5$ и не равен $-1$.

Ответ: $x \in (-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$

в) $y = \sqrt{2x^2 - 7x} + \frac{1}{\lg(2x+3)}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух слагаемых. Это приводит к системе из трех условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 - 7x \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2x + 3 > 0$.

3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\lg(2x + 3) \neq 0$.

Запишем в виде системы:

$\begin{cases} 2x^2 - 7x \ge 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ \lg(2x + 3) \neq 0 \end{cases}$

Решение для второго и третьего условий было найдено в пункте б): $x \in (-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь решим первое неравенство: $2x^2 - 7x \ge 0$.

Выносим $x$ за скобки: $x(2x - 7) \ge 0$.

Находим корни уравнения $x(2x-7)=0$: $x_1=0$ и $x_2 = 3.5$. Графиком функции $f(x) = 2x^2-7x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le 0$ или $x \ge 3.5$. То есть, $x \in (-\infty; 0] \cup [3.5; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение двух множеств: $((-\infty; 0] \cup [3.5; +\infty)) \cap ((-1.5; -1) \cup (-1; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-\infty; 0]$ с $(-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$ дает множество $(-1.5; -1) \cup (-1; 0]$.

Пересечение интервала $[3.5; +\infty)$ с $(-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$ дает множество $[3.5; +\infty)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-1.5; -1) \cup (-1; 0] \cup [3.5; +\infty)$

г) $y = \sqrt{2x^2 - 5x} + \frac{1}{\lg(2x+1)}$

Область определения функции находится из системы условий:

1. Поткоренное выражение неотрицательно: $2x^2 - 5x \ge 0$.

2. Аргумент логарифма положителен: $2x+1 > 0$.

3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(2x+1) \neq 0$.

Запишем систему:

$\begin{cases} 2x^2 - 5x \ge 0 \\ 2x + 1 > 0 \\ \lg(2x + 1) \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 5x \ge 0 \implies x(2x - 5) \ge 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=2.5$. Ветви параболы вверх, значит решение $x \in (-\infty; 0] \cup [2.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.

Решим третье условие: $\lg(2x+1) \neq 0 \implies 2x+1 \neq 1 \implies 2x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Найдем пересечение всех полученных условий: $((-\infty; 0] \cup [2.5; +\infty)) \cap (-0.5; +\infty) \cap \{x \neq 0\}$.

Условия $x > -0.5$ и $x \neq 0$ можно записать как $x \in (-0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение: $((-\infty; 0] \cup [2.5; +\infty)) \cap ((-0.5; 0) \cup (0; +\infty))$.

Пересечение $(-\infty; 0]$ с $((-0.5; 0) \cup (0; +\infty))$ дает интервал $(-0.5; 0)$.

Пересечение $[2.5; +\infty)$ с $((-0.5; 0) \cup (0; +\infty))$ дает интервал $[2.5; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-0.5; 0) \cup [2.5; +\infty)$

54 a) $y = \sqrt{\log_2 (x^2 - 2x - 2)};$

б) $y = \sqrt{\log_4 (x^2 - 4x - 4)}.$

a)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\log_2(x^2 - 2x - 2)}$ необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным, а выражение под знаком логарифма — строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} \log_2(x^2 - 2x - 2) \ge 0 \\ x^2 - 2x - 2 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство: $\log_2(x^2 - 2x - 2) \ge 0$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция логарифма является возрастающей. Поэтому неравенство равносильно следующему:

$x^2 - 2x - 2 \ge 2^0$

$x^2 - 2x - 2 \ge 1$

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$

Заметим, что если выполнено неравенство $x^2 - 2x - 2 \ge 1$, то автоматически выполняется и второе неравенство системы $x^2 - 2x - 2 > 0$. Таким образом, достаточно решить только неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{2 + 4}{2} =

55 a) $y = \sqrt{x^2 - x - 2} + \log_{3+x}(9-x^2)$;

$y = \sqrt{12 - x - x^2} \cdot \log_{3-x}(\pi^2 - x^2)$.

a) $y = \sqrt{x^2 - x - 2} + \log_{3+x}(9-x^2)$

Для нахождения области определения функции (ОДЗ) необходимо учесть ограничения, накладываемые квадратным корнем и логарифмом. Эти ограничения должны выполняться одновременно, поэтому мы составим и решим систему неравенств.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - x - 2 \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$9 - x^2 > 0$.

3. Основание логарифма должно быть строго положительным:
$3 + x > 0$.

4. Основание логарифма не должно быть равно единице:
$3 + x \ne 1$.

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. Для $x^2 - x - 2 \ge 0$, найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

2. Для $9 - x^2 > 0$, имеем $x^2 < 9$, что эквивалентно $|x| < 3$, то есть $x \in (-3, 3)$.

3. Для $3 + x > 0$, имеем $x > -3$.

4. Для $3 + x \ne 1$, имеем $x \ne -2$.

Теперь найдем пересечение всех полученных множеств решений. Условия $x \in (-3, 3)$ и $x > -3$ вместе дают $x \in (-3, 3)$.
Пересекаем $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$ с $x \in (-3, 3)$.
Пересечение $(-3, 3)$ с $(-\infty, -1]$ дает $(-3, -1]$.
Пересечение $(-3, 3)$ с $[2, +\infty)$ дает $[2, 3)$.
Объединение этих двух множеств: $(-3, -1] \cup [2, 3)$.

Наконец, исключим точку $x = -2$ из этого множества. Так как $-2 \in (-3, -1]$, мы разбиваем этот интервал на два: $(-3, -2) \cup (-2, -1]$.

Таким образом, область определения функции: $(-3, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, 3)$.

Ответ: $D(y) = (-3, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, 3)$.

б) $y = \sqrt{12 - x - x^2} \cdot \log_{3-x}(\pi^2 - x^2)$

Область определения функции находится из системы неравенств, учитывающей ограничения для квадратного корня и логарифма.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$12 - x - x^2 \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\pi^2 - x^2 > 0$.

3. Основание логарифма должно быть строго положительным:
$3 - x > 0$.

4. Основание логарифма не должно быть равно единице:
$3 - x \ne 1$.

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. Для $12 - x - x^2 \ge 0$, умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 + x - 12 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. Корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [-4, 3]$.

2. Для $\pi^2 - x^2 > 0$, имеем $x^2 < \pi^2$, что эквивалентно $|x| < \pi$, то есть $x \in (-\pi, \pi)$. (Напомним, что $\pi \approx 3.14$).

3. Для $3 - x > 0$, имеем $x < 3$.

4. Для $3 - x \ne 1$, имеем $x \ne 2$.

Теперь найдем пересечение всех полученных множеств решений.
Пересекаем $x \in [-4, 3]$, $x < 3$ и $x \in (-\pi, \pi)$.
Пересечение $x \in [-4, 3]$ и $x < 3$ дает $x \in [-4, 3)$.
Теперь пересекаем $x \in [-4, 3)$ с $x \in (-\pi, \pi)$.
Поскольку $-4 < -\pi \approx -3.14$ и $3 < \pi \approx 3.14$, пересечением будет интервал $(-\pi, 3)$.

Осталось учесть условие $x \ne 2$. Точка $x=2$ находится внутри интервала $(-\pi, 3)$, поэтому ее необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции: $(-\pi, 2) \cup (2, 3)$.

Ответ: $D(y) = (-\pi, 2) \cup (2, 3)$.

56 Найдите координаты общих точек графиков функции:

а) $y=\sqrt{x+7}$ и $y-x-1=0$;

б) $y=\sqrt{x-4}$ и $y-2x+9=0$.

а) Чтобы найти координаты общих точек графиков функций $y = \sqrt{x + 7}$ и $y - x - 1 = 0$, необходимо решить систему этих уравнений.

Сначала выразим $y$ из второго уравнения:

$y - x - 1 = 0 \implies y = x + 1$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x + 1 = \sqrt{x + 7}$

Для решения этого иррационального уравнения нужно возвести обе его части в квадрат. Предварительно определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 7 \ge 0$, что означает $x \ge -7$. Во-вторых, правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна, следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, что означает $x \ge -1$. Объединяя эти два условия, получаем, что любой корень уравнения должен удовлетворять неравенству $x \ge -1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(x + 1)^2 = (\sqrt{x + 7})^2$

$x^2 + 2x + 1 = x + 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - x + 1 - 7 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):

• $x_1 = 2$: этот корень удовлетворяет условию, так как $2 \ge -1$.
• $x_2 = -3$: этот корень не удовлетворяет условию, так как $-3 < -1$, поэтому он является посторонним.

Итак, у системы есть единственное решение для $x$: $x = 2$.

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в уравнение $y = x + 1$:

$y = 2 + 1 = 3$

Координаты общей точки графиков: $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.

б) Чтобы найти координаты общих точек графиков функций $y = \sqrt{x - 4}$ и $y - 2x + 9 = 0$, решим систему этих уравнений.

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y - 2x + 9 = 0 \implies y = 2x - 9$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$2x - 9 = \sqrt{x - 4}$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем: $x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Левая часть уравнения: $2x - 9 \ge 0$, откуда $2x \ge 9$, то есть $x \ge 4.5$. Общее условие для корней: $x \ge 4.5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2x - 9)^2 = (\sqrt{x - 4})^2$

$4x^2 - 36x + 81 = x - 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - 36x - x + 81 + 4 = 0$

$4x^2 - 37x + 85 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 85 = 1369 - 16 \cdot 85 = 1369 - 1360 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

$x_1 = \frac{-(-37) + 3}{2 \cdot 4} = \frac{37 + 3}{8} = \frac{40}{8} = 5$

$x_2 = \frac{-(-37) - 3}{2 \cdot 4} = \frac{37 - 3}{8} = \frac{34}{8} = \frac{17}{4} = 4.25$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 4.5$):

• $x_1 = 5$: этот корень удовлетворяет условию, так как $5 \ge 4.5$.
• $x_2 = 4.25$: этот корень не удовлетворяет условию, так как $4.25 < 4.5$, и является посторонним.

Единственный подходящий корень $x=5$.

Найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $y = 2x - 9$:

$y = 2 \cdot 5 - 9 = 10 - 9 = 1$

Координаты общей точки графиков: $(5; 1)$.

Ответ: $(5; 1)$.

57 a) Найдите наименьшее значение функции

$y = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{x^2 - x + 1}$

б) Найдите наибольшее значение функции

$y = \frac{x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5}{x - 2 - x^2}$

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{x^2 - x + 1}$.

Сначала проанализируем знаменатель $x^2 - x + 1$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), знаменатель всегда положителен при любом действительном значении $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Преобразуем числитель. Можно заметить, что он связан со знаменателем. Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе "уголком" или выделим полный квадрат. Попробуем второй способ, сгруппировав слагаемые:

$x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = (x^4 - 2x^3 + x^2) + (2x^2 - 2x + 2) = x^2(x^2 - 2x + 1) + 2(x^2 - x + 1)$. Это не совсем то. Попробуем выделить квадрат выражения $x^2 - x + 1$: $(x^2 - x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1 - 2x^3 + 2x^2 - 2x = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$. Сравнивая это с нашим числителем, видим, что: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) + 1 = (x^2 - x + 1)^2 + 1$.

Теперь подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(x^2 - x + 1)^2 + 1}{x^2 - x + 1} = \frac{(x^2 - x + 1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{x^2 - x + 1} = (x^2 - x + 1) + \frac{1}{x^2 - x + 1}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x + 1$. Найдем множество значений, которые может принимать $t$. Выражение $t(x) = x^2 - x + 1$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата $x$ вершины параболы: $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Наименьшее значение $t$ достигается в вершине:

$t_{min} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Таким образом, переменная $t$ принимает значения из промежутка $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

Наша задача свелась к нахождению наименьшего значения функции $y(t) = t + \frac{1}{t}$ при $t \ge \frac{3}{4}$. Можно использовать неравенство о средних арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): для $t > 0$ справедливо $t + \frac{1}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$. Равенство достигается при $t = \frac{1}{t}$, то есть $t^2 = 1$, откуда $t=1$ (так как $t>0$). Исследуем поведение функции $y(t)$ с помощью производной: $y'(t) = (t + \frac{1}{t})' = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $t^2 - 1 = 0 \implies t = 1$ (так как $t \ge 3/4$). На интервале $[\frac{3}{4}, 1)$ производная $y'(t) < 0$, следовательно, функция убывает. На интервале $(1, +\infty)$ производная $y'(t) > 0$, следовательно, функция возрастает. Значит, в точке $t=1$ функция $y(t)$ достигает своего локального и глобального минимума на промежутке $[\frac{3}{4}, +\infty)$. Наименьшее значение функции равно:

$y_{min} = y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.

Ответ: 2

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5}{x - 2 - x^2}$.

Преобразуем знаменатель: $x - 2 - x^2 = -(x^2 - x + 2)$. Проанализируем квадратичный трехчлен $x^2 - x + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 - x + 2$ всегда положительно. Следовательно, знаменатель $-(x^2 - x + 2)$ всегда отрицателен. Область определения функции — все действительные числа.

Преобразуем числитель. Выполним деление многочлена $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5$ на $x^2 - x + 2$ или заметим аналогию с предыдущей задачей и выделим полный квадрат выражения $x^2 - x + 2$: $(x^2 - x + 2)^2 = (x^2 - (x-2))^2 = x^4 - 2x^2(x-2) + (x-2)^2 = x^4 - 2x^3 + 4x^2 + x^2 - 4x + 4 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 4$. Тогда числитель можно представить в виде: $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5 = (x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 4) + 1 = (x^2 - x + 2)^2 + 1$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(x^2 - x + 2)^2 + 1}{-(x^2 - x + 2)} = - \left( \frac{(x^2 - x + 2)^2 + 1}{x^2 - x + 2} \right) = - \left( (x^2 - x + 2) + \frac{1}{x^2 - x + 2} \right)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x + 2$. Найдем множество значений $t$. График $t(x) = x^2 - x + 2$ — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Наименьшее значение $t$ равно:

$t_{min} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}$.

Таким образом, $t \ge \frac{7}{4}$.

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции $y(t) = -(t + \frac{1}{t})$ при $t \ge \frac{7}{4}$. Нахождение наибольшего значения $y(t)$ эквивалентно нахождению наименьшего значения функции $g(t) = t + \frac{1}{t}$ на том же промежутке, а затем взятию результата со знаком минус. Рассмотрим производную функции $g(t)$: $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$. На промежутке $[\frac{7}{4}, +\infty)$, у нас $t \ge \frac{7}{4} > 1$. Значит, $t^2 > 1$, и $0 < \frac{1}{t^2} < 1$. Следовательно, производная $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$ всегда положительна на этом промежутке. Это означает, что функция $g(t)$ монотонно возрастает при $t \ge \frac{7}{4}$. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в начальной точке промежутка, то есть при $t = \frac{7}{4}$. $g_{min} = g(\frac{7}{4}) = \frac{7}{4} + \frac{1}{7/4} = \frac{7}{4} + \frac{4}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 4 \cdot 4}{28} = \frac{49 + 16}{28} = \frac{65}{28}$.

Наибольшее значение исходной функции $y$ равно $-g_{min}$:

$y_{max} = -\frac{65}{28}$.

Ответ: $-\frac{65}{28}$

58 Функция f(x) удовлетворяет следующему условию: для любых чисел a и b выполняется равенство $f\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac{f(a)+2f(b)}{3}$.

Найдите значение функции f(1999), если:

a) f(1) = 1 и f(4) = 7;

б) f(1) = 2 и f(4) = 8.

Данное функциональное уравнение $f\left(\frac{a+2b}{3}\right) = \frac{f(a)+2f(b)}{3}$ является частным случаем функционального уравнения Йенсена. Геометрически это означает, что для любых двух точек $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ на графике функции, точка, делящая отрезок $AB$ в отношении $2:1$, считая от точки $B$, также лежит на этом графике.

Решением такого уравнения (если предположить непрерывность функции) является линейная функция вида $f(x) = kx + c$. Проверим, что любая линейная функция удовлетворяет этому уравнению, подставив $f(x) = kx + c$ в него.

Левая часть: $f\left(\frac{a+2b}{3}\right) = k\left(\frac{a+2b}{3}\right) + c = \frac{ka + 2kb}{3} + c$.

Правая часть: $\frac{f(a)+2f(b)}{3} = \frac{(ka+c) + 2(kb+c)}{3} = \frac{ka+c+2kb+2c}{3} = \frac{ka+2kb+3c}{3} = \frac{ka+2kb}{3} + c$.

Поскольку левая и правая части тождественно равны, функция вида $f(x)=kx+c$ является решением. Мы можем найти конкретные значения коэффициентов $k$ и $c$, используя данные в задаче условия.

По условию, $f(1) = 1$ и $f(4) = 7$. Подставим эти значения в уравнение $f(x) = kx + c$, чтобы составить систему уравнений:

$\begin{cases} f(1) = k \cdot 1 + c = 1 \\ f(4) = k \cdot 4 + c = 7 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(4k+c) - (k+c) = 7 - 1$

$3k = 6$

$k = 2$

Теперь подставим найденное значение $k=2$ в первое уравнение системы:

$2 + c = 1$

$c = 1 - 2 = -1$

Таким образом, функция имеет вид $f(x) = 2x - 1$.

Теперь мы можем найти значение $f(1999)$:

$f(1999) = 2 \cdot 1999 - 1 = 3998 - 1 = 3997$.

Ответ: 3997

По условию, $f(1) = 2$ и $f(4) = 8$. Снова составим систему уравнений на основе $f(x) = kx + c$:

$\begin{cases} f(1) = k \cdot 1 + c = 2 \\ f(4) = k \cdot 4 + c = 8 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(4k+c) - (k+c) = 8 - 2$

$3k = 6$

$k = 2$

Подставим $k=2$ в первое уравнение:

$2 + c = 2$

$c = 0$

В этом случае функция имеет вид $f(x) = 2x$.

Найдем значение $f(1999)$:

$f(1999) = 2 \cdot 1999 = 3998$.

Ответ: 3998