Номер 46, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 46, страница 415.

Условие.

46 $y = \sqrt{\sin^2 2x + 2 \sin x \cos x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данной задачи мы упростим выражение для функции $y$, а также найдем ее область определения и область значений.

Исходная функция:

$$ y = \sqrt{\sin^2{2x} + 2\sin{x}\cos{x}} $$

1. Упрощение выражения.

Воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла для синуса:

$$ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} $$

Подставим это тождество в исходное выражение для $y$:

$$ y = \sqrt{\sin^2{2x} + \sin{2x}} $$

Теперь вынесем общий множитель $\sin{2x}$ за скобки под корнем:

$$ y = \sqrt{\sin{2x}(\sin{2x} + 1)} $$

Это является итоговым упрощенным видом функции.

2. Нахождение области определения.

Функция определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно:

$$ \sin{2x}(\sin{2x} + 1) \ge 0 $$

Мы знаем, что значение синуса любого угла находится в пределах от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \sin{2x} \le 1$.

Следовательно, второй множитель $\sin{2x} + 1$ всегда неотрицателен: $0 \le \sin{2x} + 1 \le 2$.

Таким образом, неравенство $\sin{2x}(\sin{2x} + 1) \ge 0$ выполняется в двух случаях:

а) Когда второй множитель равен нулю: $\sin{2x} + 1 = 0 \implies \sin{2x} = -1$.

б) Когда второй множитель положителен, а первый неотрицателен: $\sin{2x} + 1 > 0$ и $\sin{2x} \ge 0$. Это упрощается до $\sin{2x} \ge 0$.

Итак, область определения задается условием $\sin{2x} \ge 0$ или $\sin{2x} = -1$.

Решим эти условия относительно $x$:

• $\sin{2x} = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• $\sin{2x} \ge 0 \implies 2k\pi \le 2x \le \pi + 2k\pi \implies k\pi \le x \le \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции — это объединение этих множеств.

3. Нахождение области значений.

Пусть $t = \sin{2x}$. Из области определения мы знаем, что допустимые значения для $t$ — это $t = -1$ и $t \in [0, 1]$.

Наша функция теперь имеет вид $y = \sqrt{t^2+t}$.

• При $t = -1$, $y = \sqrt{(-1)^2 + (-1)} = \sqrt{1-1} = 0$.
• При $t \in [0, 1]$, рассмотрим функцию $g(t) = t^2+t$. Это парабола с ветвями вверх, ее вершина находится в точке $t_v = -1/2$, поэтому на отрезке $[0, 1]$ функция $g(t)$ монотонно возрастает. Наименьшее значение $g(t)$ на этом отрезке достигается при $t=0$: $g(0) = 0^2+0 = 0$. Наибольшее значение достигается при $t=1$: $g(1) = 1^2+1 = 2$. Значит, при $t \in [0, 1]$, значения $g(t)$ лежат в отрезке $[0, 2]$.

Поскольку функция $y=\sqrt{g(t)}$ также является возрастающей, ее значения будут лежать в отрезке $[\sqrt{0}, \sqrt{2}]$, то есть $[0, \sqrt{2}]$.

Объединяя оба случая, получаем, что область значений функции $y$ есть отрезок $[0, \sqrt{2}]$.

Ответ: Упрощенное выражение для функции: $y = \sqrt{\sin{2x}(\sin{2x} + 1)}$. Область определения функции: $x \in [k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi] \cup \{-\frac{\pi}{4} + k\pi\}$ для всех целых $k$. Область значений функции: $[0, \sqrt{2}]$.