Номер 53, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 53, страница 415.

Условие.

53 а) $y = \frac{1}{\lg(2x - 5)}$;

б) $y = \frac{1}{\lg(2x + 3)}$;

В) $y = \sqrt{2x^2 - 7x + \frac{1}{\lg(2x + 3)}}$;

Г) $y = \sqrt{2x^2 - 5x + \frac{1}{\lg(2x + 1)}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = \frac{1}{\lg(2x-5)}$

Область определения функции (ОДЗ) задается следующими условиями:

1. Аргумент десятичного логарифма должен быть строго положительным.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 2x - 5 > 0 \\ \lg(2x - 5) \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$2x > 5$

$x > 2.5$

Решаем второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1:

$2x - 5 \neq 1$

$2x \neq 6$

$x \neq 3$

Совмещая оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше $2.5$, но не равен $3$.

Ответ: $x \in (2.5; 3) \cup (3; +\infty)$

б) $y = \frac{1}{\lg(2x+3)}$

Область определения функции задается аналогичными условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2x + 3 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\lg(2x + 3) \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ \lg(2x + 3) \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$2x > -3$

$x > -1.5$

Из второго условия получаем:

$2x + 3 \neq 1$

$2x \neq -2$

$x \neq -1$

Таким образом, $x$ должен быть больше $-1.5$ и не равен $-1$.

Ответ: $x \in (-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$

в) $y = \sqrt{2x^2 - 7x} + \frac{1}{\lg(2x+3)}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух слагаемых. Это приводит к системе из трех условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 - 7x \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2x + 3 > 0$.

3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\lg(2x + 3) \neq 0$.

Запишем в виде системы:

$\begin{cases} 2x^2 - 7x \ge 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ \lg(2x + 3) \neq 0 \end{cases}$

Решение для второго и третьего условий было найдено в пункте б): $x \in (-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь решим первое неравенство: $2x^2 - 7x \ge 0$.

Выносим $x$ за скобки: $x(2x - 7) \ge 0$.

Находим корни уравнения $x(2x-7)=0$: $x_1=0$ и $x_2 = 3.5$. Графиком функции $f(x) = 2x^2-7x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le 0$ или $x \ge 3.5$. То есть, $x \in (-\infty; 0] \cup [3.5; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение двух множеств: $((-\infty; 0] \cup [3.5; +\infty)) \cap ((-1.5; -1) \cup (-1; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-\infty; 0]$ с $(-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$ дает множество $(-1.5; -1) \cup (-1; 0]$.

Пересечение интервала $[3.5; +\infty)$ с $(-1.5; -1) \cup (-1; +\infty)$ дает множество $[3.5; +\infty)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-1.5; -1) \cup (-1; 0] \cup [3.5; +\infty)$

г) $y = \sqrt{2x^2 - 5x} + \frac{1}{\lg(2x+1)}$

Область определения функции находится из системы условий:

1. Поткоренное выражение неотрицательно: $2x^2 - 5x \ge 0$.

2. Аргумент логарифма положителен: $2x+1 > 0$.

3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(2x+1) \neq 0$.

Запишем систему:

$\begin{cases} 2x^2 - 5x \ge 0 \\ 2x + 1 > 0 \\ \lg(2x + 1) \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x^2 - 5x \ge 0 \implies x(2x - 5) \ge 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=2.5$. Ветви параболы вверх, значит решение $x \in (-\infty; 0] \cup [2.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.

Решим третье условие: $\lg(2x+1) \neq 0 \implies 2x+1 \neq 1 \implies 2x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Найдем пересечение всех полученных условий: $((-\infty; 0] \cup [2.5; +\infty)) \cap (-0.5; +\infty) \cap \{x \neq 0\}$.

Условия $x > -0.5$ и $x \neq 0$ можно записать как $x \in (-0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение: $((-\infty; 0] \cup [2.5; +\infty)) \cap ((-0.5; 0) \cup (0; +\infty))$.

Пересечение $(-\infty; 0]$ с $((-0.5; 0) \cup (0; +\infty))$ дает интервал $(-0.5; 0)$.

Пересечение $[2.5; +\infty)$ с $((-0.5; 0) \cup (0; +\infty))$ дает интервал $[2.5; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-0.5; 0) \cup [2.5; +\infty)$