Номер 50, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 50, страница 415.

Условие.

50 a) $y = \sqrt{\frac{17 - 15x - 2x^2}{x + 3}}$;

б) $y = \frac{-4x^2 + 4x + 3}{\sqrt{2x^2 - 7x + 3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\frac{17 - 15x - 2x^2}{x + 3}}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это приводит к решению рационального неравенства:

$\frac{17 - 15x - 2x^2}{x + 3} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $17 - 15x - 2x^2 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства: $2x^2 + 15x - 17 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 225 + 136 = 361 = 19^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-15 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-34}{4} = -8.5$; $x_2 = \frac{-15 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -3$.

Исходное неравенство эквивалентно следующему: $\frac{-2(x-1)(x+8.5)}{x+3} \ge 0$.
Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{(x-1)(x+8.5)}{x+3} \le 0$.

Отметим на числовой оси точки $x = -8.5$, $x = -3$ и $x = 1$. Точки -8.5 и 1, являющиеся корнями числителя, включаются в решение (закрашенные точки), а точка -3, являющаяся корнем знаменателя, исключается (выколотая точка). Эти точки разбивают ось на четыре интервала.

Определим знак выражения $\frac{(x-1)(x+8.5)}{x+3}$ на каждом интервале:

• При $x \in (1, +\infty)$, выражение положительно.
• При $x \in (-3, 1)$, выражение отрицательно.
• При $x \in (-8.5, -3)$, выражение положительно.
• При $x \in (-\infty, -8.5)$, выражение отрицательно.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -8.5]$ и $(-3, 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -8.5] \cup (-3, 1]$.

б) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{-4x^2 + 4x + 3}}{\sqrt{2x^2 - 7x + 3}}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $-4x^2 + 4x + 3 \ge 0$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (т.к. находится в знаменателе): $2x^2 - 7x + 3 > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} -4x^2 + 4x + 3 \ge 0 \\ 2x^2 - 7x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-4x^2 + 4x + 3 \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $4x^2 - 4x - 3 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 - 4x - 3 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{4 - 8}{8} = -0.5$; $x_2 = \frac{4 + 8}{8} = 1.5$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-0.5, 1.5]$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - 7x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{7 - 5}{4} = 0.5$; $x_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 0.5) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:
$x \in [-0.5, 1.5] \cap ((-\infty, 0.5) \cup (3, +\infty))$.
Пересекая отрезок $[-0.5, 1.5]$ с объединением интервалов $(-\infty, 0.5)$ и $(3, +\infty)$, получаем полуинтервал $[-0.5, 0.5)$.

Ответ: $x \in [-0.5, 0.5)$.