Номер 51, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 51, страница 415.

Условие.

51 a) $y = \sqrt{20 + 8x - x^2} + \sqrt[6]{x - 4};$

б) $y = \frac{\sqrt{33 + 8x - x^2}}{\sqrt[4]{x - 5}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{20 + 8x - x^2} + \sqrt[6]{x - 4}$, необходимо, чтобы выражения под корнями четной степени (квадратным и шестой степени) были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 20 + 8x - x^2 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $20 + 8x - x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x - 20 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x - 20 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 12}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 12}{2} = 10$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 8x - 20$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 8x - 20 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-2 \le x \le 10$, то есть $x \in [-2; 10]$.

2. Решим второе неравенство: $x - 4 \ge 0$.

Перенеся -4 в правую часть, получаем: $x \ge 4$, то есть $x \in [4; +\infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[-2; 10]$ и $[4; +\infty)$.

$\begin{cases} -2 \le x \le 10 \\ x \ge 4 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является отрезок $[4; 10]$.

Ответ: $[4; 10]$.

б) Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{33 + 8x - x^2}}{\sqrt[4]{x - 5}}$, необходимо учесть два условия: выражение под квадратным корнем в числителе должно быть неотрицательным, а выражение под корнем четвертой степени в знаменателе — строго положительным (поскольку корень четной степени не может быть из отрицательного числа, и деление на ноль недопустимо).

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 33 + 8x - x^2 \ge 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $33 + 8x - x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x - 33 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x - 33 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = 11$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 8x - 33$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 8x - 33 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-3 \le x \le 11$, то есть $x \in [-3; 11]$.

2. Решим второе неравенство: $x - 5 > 0$.

Перенеся -5 в правую часть, получаем: $x > 5$, то есть $x \in (5; +\infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[-3; 11]$ и $(5; +\infty)$.

$\begin{cases} -3 \le x \le 11 \\ x > 5 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(5; 11]$.

Ответ: $(5; 11]$.