Номер 48, страница 415 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 48, страница 415.

Условие.

Укажите область определения функции (48–55):

48 a) $y = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$;

б) $y = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана функция $y = \frac{x-2}{x^2-4}$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

Данная функция является дробно-рациональной. Основное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как на ноль делить нельзя.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить из области определения:

$x^2 - 4 = 0$

Это уравнение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x - 2 = 0 \quad$ или $\quad x + 2 = 0$

$x = 2 \quad$ или $\quad x = -2$

Следовательно, при $x=2$ и $x=-2$ функция не определена. Областью определения являются все действительные числа, кроме этих двух точек.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x+3}{x^2-9}$.

Аналогично предыдущему пункту, находим область определения, исключая значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x^2 - 9 = 0$

Снова используем формулу разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Решаем получившееся уравнение:

$x - 3 = 0 \quad$ или $\quad x + 3 = 0$

$x = 3 \quad$ или $\quad x = -3$

Таким образом, функция не определена в точках $x=3$ и $x=-3$. Областью определения являются все действительные числа, за исключением этих двух значений.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.