Номер 42, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 42, страница 414.

Условие.

42 a) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}$

б) $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Рассмотрим функцию $y = \sin x - \sqrt{\sin^2x}$.

Для упрощения выражения воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашей функции, получаем:

$\sqrt{\sin^2x} = |\sin x|$.

Таким образом, исходная функция преобразуется к виду:

$y = \sin x - |\sin x|$.

Теперь необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\sin x$.

Случай 1: $\sin x \ge 0$. Это условие выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам вида $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). В этом случае, по определению модуля, $|\sin x| = \sin x$. Подставим это в нашу функцию:

$y = \sin x - \sin x = 0$.

Случай 2: $\sin x < 0$. Это условие выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$. Подставим это в функцию:

$y = \sin x - (-\sin x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Объединив результаты, получаем, что функция является кусочно-заданной.

Ответ: $y = \begin{cases} 0, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 2\sin x, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \cos x - \sqrt{\cos^2x}$.

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда выражение $\sqrt{\cos^2x}$ равно $|\cos x|$.

Следовательно, исходная функция может быть записана как:

$y = \cos x - |\cos x|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$.

Случай 1: $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется для $x$, принадлежащих отрезкам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция упрощается до:

$y = \cos x - \cos x = 0$.

Случай 2: $\cos x < 0$. Это условие выполняется для $x$, принадлежащих интервалам вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция становится:

$y = \cos x - (-\cos x) = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной.

Ответ: $y = \begin{cases} 0, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 2\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$.