Номер 35, страница 414 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 35, страница 414.

Условие.

35 a) Найдите арифметическую прогрессию, в которой сумма членов, сколько бы, начиная с первого, их ни взять, всегда равна утроенному квадрату числа этих же членов.

б) Найдите сумму $n$ первых членов ряда $7 + 77 + 777 + \dots$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Пусть искомая арифметическая прогрессия имеет первый член $a_1$ и разность $d$. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии, $S_n$, вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$.

По условию задачи, сумма $n$ первых членов всегда равна утроенному квадрату числа этих членов, то есть $S_n = 3n^2$ для любого натурального $n$.

Приравняем два выражения для $S_n$: $\frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n = 3n^2$.

Так как это равенство должно выполняться для любого $n \ge 1$, мы можем разделить обе части на $n$: $\frac{2a_1 + d(n-1)}{2} = 3n$.

Умножим обе части на 2 и раскроем скобки: $2a_1 + d(n-1) = 6n$ $2a_1 + dn - d = 6n$ $dn + (2a_1 - d) = 6n$.

Это равенство представляет собой тождество по переменной $n$. Оно будет верным для всех $n$ только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях $n$ в левой и правой частях равны.

Приравнивая коэффициенты при $n$: $d = 6$.

Приравнивая свободные члены (коэффициенты при $n^0$): $2a_1 - d = 0$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим значение $d=6$ во второе уравнение: $2a_1 - 6 = 0$ $2a_1 = 6$ $a_1 = 3$.

Таким образом, мы нашли первый член прогрессии $a_1 = 3$ и ее разность $d = 6$. Искомая арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, начинающаяся с 3, где каждый следующий член на 6 больше предыдущего: 3, 9, 15, 21, ...

Ответ: арифметическая прогрессия, у которой первый член равен 3, а разность равна 6.

б)

Требуется найти сумму $S_n$ первых $n$ членов ряда $7 + 77 + 777 + \dots$. Запишем сумму в явном виде: $S_n = 7 + 77 + 777 + \dots + \underbrace{77\dots7}_{n \text{ раз}}$.

Вынесем общий множитель 7 за скобки: $S_n = 7(1 + 11 + 111 + \dots + \underbrace{11\dots1}_{n \text{ раз}})$.

Каждый член в скобках можно представить с помощью степеней числа 10. Заметим, что число, состоящее из $k$ единиц, можно записать как $\frac{10^k-1}{9}$. Например, $111 = \frac{999}{9} = \frac{10^3-1}{9}$.

Используя это представление, перепишем сумму в скобках: $1 + 11 + \dots + \underbrace{11\dots1}_{n \text{ раз}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k-1}{9}$.

Тогда $S_n$ равно: $S_n = 7 \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k-1}{9} = \frac{7}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k-1)$.

Разобьем сумму на две части: $S_n = \frac{7}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.

Первая сумма, $\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10^1 + 10^2 + \dots + 10^n$, является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=10$ и знаменателем $q=10$. Ее сумма равна: $\sum_{k=1}^{n} 10^k = b_1 \frac{q^n - 1}{q-1} = 10 \frac{10^n - 1}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n - 1)$.

Вторая сумма, $\sum_{k=1}^{n} 1 = 1 + 1 + \dots + 1$ ($n$ раз), равна $n$.

Подставим найденные суммы обратно в выражение для $S_n$: $S_n = \frac{7}{9} \left( \frac{10}{9}(10^n - 1) - n \right)$.

Упростим полученное выражение: $S_n = \frac{7}{9} \left( \frac{10(10^n - 1) - 9n}{9} \right) = \frac{7}{81} (10 \cdot 10^n - 10 - 9n) = \frac{7}{81} (10^{n+1} - 9n - 10)$.

Ответ: $S_n = \frac{7}{81} (10^{n+1} - 9n - 10)$.